【普及】Gamma函数与Psi函数

自古二楼归楼主

我选择先从欧拉公式开始讲起，但其实这不是很必要，因为复数大家接触得少，所以有兴趣的童鞋看看，不想接触的直接看Gamma函数定义并且把z当做实数就行

如果考虑复变量的Gamma函数值的话，可以稍微这样处理一下。复数的Gamma函数值到此为止了

这个比较简单的递推公式是对非负实数x都成立的，当x取到整数时就得到了一些比较特殊的结果。通过这种方式，我们可以知道，其实Gamma函数的一个作用就是将阶乘推广到整数以外的部分。

gamma函数在0到1的图像与1到+∞图像(Gamma函数在0附近取∞值，稍后提到）

我们来证明一个命题:lnΓ(x)是凸（下凸）函数。这里用到柯西不等式的积分形式。至于如何证明中点凸函数是凸函数，大家可以翻翻课本，如果课本没有可以去百度一下 中点凸。

现在我们来证明一个极限展开式，先证明它对于0到1成立，再证明它对于大于0的实数成立。使用了下凸的性质。

对于复数域上的gamma函数极限展式，式子也是成立的，这里不讲了，有兴趣的参见下面这个贴子的证明:
http://tieba.baidu.com/p/4695848148?share=9105&fr=share&see_lz=0

证明威尔斯特拉斯无穷乘积展开

这个定理其实是很神奇的，它表明了gamma函数其实仅仅由它的三个性质决定。
稍微讲讲这个神奇的性质:对数凸。如果某个函数取对数还是凸函数，那么我们称它为对数凸的。一般来讲，凸函数的导数增加，取对数之后很多函数增长速率都会下降从而变成上凸函数。指数函数e^(ax)是凸函数，取对数后变成线性函数（线性函数也是凸函数，是凸函数的最低要求），这已经是对数凸的底线了。但gamma函数取对数后仍然能保持非线性的下凸，这可以在几何直观上说明gamma函数的增长速度非常快。也表现出阶乘的增长快过指数增长。

http://tieba.baidu.com/p/4894586490?share=9105&fr=share&thread_type=33
这个贴子已经证明过Γ(1/2)=√π.
这里将会使用这个结论。
注意，Gamma函数只有在整数和半整数（1/2，3/2等）上有不用Gamma函数表示的解，其它数值算不出来，如Γ(1/3)就写作Γ(1/3)没有初等表示方法。

注:如果f(x)是凸函数，那么f(kx+b) (k大于0)也是凸函数；
如果f,g是凸函数，那么f+g也是凸函数。

这里的结论将用于证明余元公式