一个偶然的机会，我看到了Collatz 3x+1猜想。后来对此着迷。有了一些想法。
对于任一自然数，如果是奇数，对它乘3加1；若是偶数，则除以2。反复进行这样的运算，最终必然得到1。这就是Collatz 3x＋1猜想，本文统称为Collatz问题。
Collatz问题的基本计算决定其变化规律与2的不同指数幂有密切联系关，而二进制数实质上是由2的不同指数幂组成的最简数学表达式，采用二进制对观察、论证、展示该问题的一般规律以及简化计算较有利。故本文重要论证采用二进制（因二进制数较长，有关序号、幂指数、上下标仍采用十进制）使用十进制时加以说明，重要的公式一般列出十进制、二进制两种表达式。

（接4楼）
㈠基本定义
若Collatz问题对于奇数集M的所有元素都成立，则对于自然数集N的所有元素都成立，故Collatz问题可转化为等价命题：

5楼（1.1）式漏了一些字符。

(1.1)式是借鉴前人研究的成果（见：邬家邦，《3N+1猜想》，2001年6月，湖南大学出版社,100页。）
我的习题1就是为该式做的习题。

再次感谢网友的关注和意见。
不少人一听我说“采用二进制”，立即给出否定的意见。其实二进制的应用不仅是因为“方便”，更重要的是通过其显示 的“表达式”可以发现问题的规律。请考虑下一个习题。
习题2
习题5.5 “3n+1算法”如下：从给定正整数n出发，如果n是偶数则将它除以2，如果n是奇数则把它替换成3n+1，如此反复进行下去。
(c)设L(n)是开始值为n的长度。……证明 n = 8k+4时L(n) = L(n+1)。
(d)证明n=128k+28时L(n)=L(n+1)=L(n+2)。
(e)……找出其他条件使得n的相继值有相同长度。
自我拓展：在该提到基础上，进一步思考将所有自然数分类。
（原题选自：(美)Joseph H.Silverman《数论概论》，孙智伟等译机械工业出版社，2013. 20页）

（接6楼）
㈡适度缩小研究范围

（接1楼）

这个看似简单的Collatz问题，“已经有无数数学家和数学爱好者尝试过，其中不乏天才和世界上第一流的数学家，他们都没有成功。”虽然数学家采用先进的数学手段，依然困难重重，令不少人哀叹：“我们有必要稍微严肃点看待此问题，因为3x+1问题离不可证明的问题并不太远。” （异调：《3x+1问题》 《三思科学》电子杂志创刊号　2001.07.01）
证明Collatz问题的困难在哪里？下面谈谈我的浅薄认识。

国内外研究者对Collatz问题的研究有一些较悲观的观点。
邬家邦先生的《3N+1猜想》较多的介绍了国内外的研究情况，书中说，“3N+1猜想之所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N，n的迭代轨迹序列T(n)={C0(n),C1(n), C2(n), ……}中的元素（注：各C字符后面的数字是C的上标）排列杂乱无章，无规律可循，从而使得n的完全停止次数tc(n)随n的变化情况无法把握。”
我想较多地侧重于一个个序列的研究，缺乏从整体考虑，可能的研究陷入困境的一个原因。

当然，数学家并没有忽视各个序列之间的联系。
上面习题2就是从(美)Joseph H. Silverman的《数论概论》中引申而来的，
邬家邦先生介绍的“同高连续数对”、“L--tuple”有更多的内容（邬家邦，2001年6月，《3N+1猜想》，湖南大学出版社,19--45页），也是这方面的研究成果。
美国堪萨斯州立大学Ken Conrow先生也在奇数范围内进行研究，并从Collatz问题的整体结构出发，寻求解决问题的途径。

我认为，要找到问题的整体规律，应该集中研究那些对规律变化其主导作用的数字。
采用二进制让我们比较容易观察到各类数字在序列变化中 的不同作用。在观察的基础上 我总结出定理1和定理2，压缩了研究范围。
这之前已经有人发现并证明了定理1，但他们没有据此压缩研究范围。如内蒙古科技大学包头师范学院郝生旺先生的《3N+1问题的直接证明》中的引理3（中国科技网 2008年5月21日）。
我尚未看到有关定理2的介绍。

㈢Collatz问题的基本单元
研究范围缩小后，Collatz序列的整体组合图有所变化，但与原始Collatz图是等价的。
在奇数范围内研究问题时，若奇数m≡0(mod11)，在Collatz序列中m没有父项。
数集A的补集中与m(m0∈A)对应的奇数(m×10^2k+(10^2k-1)/11)有无穷多个（参看15楼）。因此，研究范围缩小到数集A之后，m的父项是一个无穷数列，数列前项×10^6+110001=后项。
同理，当我们将研究范围缩小到数集B之后，奇数m(m0∈B)代表 m本身和奇数（10m+1），m的父项是2列无穷父项数列，2个数列中的2个最小项（mx1与mx2）合称为m的最小父项对。

（接25楼）
根据(2.1)式，数集B内奇数m（m>1）的最小父项对由下式确定：
当m≡0(mod11)时： mx1=(m/11)×10^3+1 mx2=(m/11)×10^4+1
当m≡1(mod11)时： mx1=(m－1)/11×10^2+1 mx2=(m－1)/11×10^5+10001
当m≡10(mod11)时：mx1=(m－10)/11×10+1 mx2=(m－10)/11×10^6+110001 （3.1）