没人。这次不坑了，有答案。

跑半径上岸？跑螺旋线就跪了……

为什么是螺旋

怒求楼主贴答案高三狗扑街……

按题目意思，老鼠平行切线的分速度应该略小于猫的速度。

猫有多聪明？猫的策略是什么？

感觉很熟悉啊

如果老鼠游直线不就成π了么

好熟悉的感觉。但我不会做

sorry。我只是知道答案而已，但是并不会做。

假设老鼠的坐标是(r,a),猫的坐标是b，猫的最佳策略是沿着劣弧追，设弧度为c，c<=pi（如果差pi，任意。这里不妨设为逆时针），这个貌似是显然的。
而老鼠的最佳策略我想下，应该是这样的，不过没有证明。
首先假设老鼠的切向角速度为w，法向速度为v。(wr)^2+v^2=1。
1.r严格单调增加，即v>0。
2.w与猫同向。
3.任意时刻，到池边的期望时间尽可能比角速度追及的时间短。保证(R-r)/v-c/（k/R-w)为最小值。
不过这个结论貌似也比较显然。
根据3，在r<R/k时，（k/R-w)可以等于0，期望时间无穷大。考虑的初始条件为c=pi。所以在r<R/k时，猫的轨迹应该是一直沿着逆时针跑。而老鼠时刻保持他的角速度w=k/R。直到游到r=R/k处。

假设圆心角为x。r=R/k。老鼠的时间是sqrt(R^2+r^2-2rRcosx)/1=Rsqrt(k^2+1-2kcosx)/k。
猫的时间是(pi+x)R/k
最佳x的选择是已知k，求f（x）=k^2+1-2kcosx-（pi+x）^2的极小值。
考虑到原则1。0<x<arccos(1/k)
f*(x)=2ksinx-2pi-2x。
然后问题来了f*(x)=0的解在x定义域内是否有解是个大问题…………。
这里我只能推测它无解了。极值取在边界值上。对比了下，跑切线方向比法向方向好。所x=arccos(1/k）
在此基础上，f（x）=0（未知数为k）又是个超越方程………………
数值解大约是k=4.60333

据我询问的结果，我的答案是对的。
不过做法，呵呵。有待补充。求把那些显然和猜想都扔掉。

另求编程求轨迹。
以及时间t（R，k的函数）