格林公式是一种转化第二类曲线积分为二重积分的定理
1)使用范围
1.第二类曲线积分的环路积分
2.围成区域为单连通区域
单连通的规范定义是
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D
通俗的理解就是没有点洞。或者说对于其给予的曲线积分在曲线围成的区域内 不存在奇点
PS：奇点 无意义的点，P(x,y).Q(x,y)在该点无意义 即为奇点
3.光滑曲线
定义太偏 不做讨论
4.须知定义 曲线的正向规定
：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边

2)定理
格林公式
设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有
∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy
其中是的取正向的边界曲线.
或者
设D是以光滑曲线L为边界的平面单连通区域，函数P，Q在D和L上连续且对x和y有连续偏导数
则有∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy
具体证明见课本
注意
定理中明确了要求D为单连通区域
函数P，Q在D和L上连续且对x和y有连续偏导数
二重积分为dQ/dx-dP/dy
方向为正向

3)应用
1.满足适用范围的直接使用公式即可
2.D内有奇点 这一类题目很特殊 通常会用围绕奇点做环路 环路外使用格林公式
环路内可以按照自己的想法 任意做环路 方便计算即可。
3.非环路积分 可以考虑连线 做成环路 再减去增加的环路端的第二类积分 即可
4.形式应用(不严谨)
在含奇点的环路积分
可以弱化提取不满足条件的部分 对条件内的新第二类曲线积分 使用格林公式

例题
1.适用范围内

3.添线围圈

4.使用形式

注：这一类均是由第二类曲线积分转化为二重积分
灵活的应该当然包括
二重积分化为第二类曲线积分
当然这一类的范围太大，具体问题具体分析
提供一种思路