《微积分学教程》里面有推导过程，刚才啃了啃。也挺巧妙，因为证明过程不短，所以有些地方不直接打了，见谅
先用复数欧拉公式求sin(2n+1)x用sinx的表示方法
得到sin(2n+1)x=sinxP(sin^2 x)，P(u)为关于u的n次多项式
然后就是欧拉的那个做法，不过这次是把P(u)写成乘积形式P(u)=(1-u/u1)(1-u/u2)...(1-u/un)，uk是多项式的根。注意到根为sin^2(k*pi/(2n+1))，k取直到n的正整数（注意，k*pi/(2n+1)都是锐角）然后把x换成x/(2n+1)就可以把sinx展开乘乘积形式。这个展开是关于sin（x/（2n+1）)的.
现在取定k，使得(k+1)pi>|x|，考虑前k个根的乘积部分，取n趋于无穷的极限，得到一个极限（有限项，极限很好求，把sin弄掉了），得到一个乘积式子。而总乘积显然收敛（常数，为sinx），所以剩下的部分肯定也是收敛的。
现在可以证明剩下部分在n趋于无穷时的极限（和k是相关的），在k趋于无穷的时候是趋近于1的。因而无穷乘积就证明了。具体证明是考虑
2a/pi<sina<a,
则，设这部分乘积为A
sin^2(h*pi/(2n+1))>4/pi^2*h^2pi^2/(2n+1)^2，h取大于k的数
因为根都是非负的，以及三角函数有界性,得到
1>A>（1－x^2/4(k+1)^2）...(1-x^2/4n^2)
现在要做的是证明右边的部分乘积在k趋于无穷的时候极限为1就好（这样A极限也是1，sinx就等于之前那个乘积在k趋于无穷的时候的极限了）
（以下求和、求积号略）
无穷乘积理论中有这样的两个定理
1）如果一个无穷乘积收敛，那么部分乘积（从第k项开始往后的部分）在k趋于无穷时候的极限为1。
2）如果对于充分大的n，乘积（1＋an），总有an>0或an<0,则乘积的收敛与否等价于级数an是否收敛
我们考虑从某个H开始的无穷乘积（1－x^2/4H^2）...，其中4H^2>x^2,可以使得之前不等式右边那个乘积是其部分乘积。容易知道级数x^2/4h^2是收敛的，通过2）知道无穷乘积收敛。那么通过1）我们也就得到了想要证明的结论。
至此，这个无穷乘积的证明也就结束了。
