【补充】
23.
(2) 解析:可以先算出f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=4,f(5)=8,f(6)=8,。。。 从上面大家可以看出 从第三项开始,的奇和偶项都是相等的。
可以建立n≥3时,运用数学归纳法可猜想表达式为:
f(n)=2^{(n+1)/2}(n为奇数) ,f(n)=2^(n/2)(n为偶数)。【且:f(n+2)=2f(n)】
①当n=3时,f(3)=4成立, 当n=4时,f(4)=4成立。
②假设:当n=k时(k为奇数),f(k)=2^{(k+1)/2}成立。
当n=x时(x为偶数),且x=k+1 。f(x)=2^(x/2)成立。 即:f(x)=2^{(k+1)/2}成立。
所以:当n=k+1时. f(k+1)=f(x)=2^(x/2)=2^{(k+1)/2}=f(k) 等式①
3.假设:当n=x时(x为偶数),f(x)=2^(x/2)成立。
当n=y时(y为奇数),且y=x+1 。f(y)=2^(y/2)成立。
所以:当n=x+1时, f(x+1)=f(y)=2^{(y+1)/2}=2^{(x+2)/2}=2*2^(x/2)=2f(x) 等式②(注:此处运用了螺旋式归纳法)
联立等式①②可得: 当当n=x+1时, f(x+1)=2f(k) 而x+1=k+1+1=k+2 ,所以2f(k)=f(k+2) 成立。
所以:当n≥3时, f(n)=2^{(n+1)/2}(n为奇数) ,f(n)=2^(n/2)(n为偶数) 成立。
对于:f(n)=2^{(n+1)/2}(n为奇数) ,f(n)=2^(n/2)(n为偶数) 。n=2时,f(n)=2 成立。 n=1时,f(n)=2 ≠f(1)=1 。
所以:当n≥2时,f(n)=f(n)=2^{(n+1)/2}(n为奇数) ,f(n)=2^(n/2)(n为偶数)。 当n=1时,f(n)=1