乘法是多次加法

我其实就是想让乘法也像加法那样建立一个直观的模型

楼主的问题非常好。你1楼的说法基本上是对的。

你喜欢画线的话没人反对的，但你要注意若乘数中有交大的数字（7、8、9），画线就极为不爽了。

乘法最初的含义就是倍数。它的本质属性是分配律、交换律等。其中分配律最为重要。手机无力，不便多说，你自己领会了。

因此本人认为：可以用分配律、加法的定义，给出乘法纯抽象的定义。不知道较严密的数学教材里是不是这样处理的。（本人很少看书，都是自己想问题）

我试着给出乘法定义：首先给出加法定义（此处略），1、a×1=a(到自身的映射)2、a×(b+c)=a×b+a×c(分配律)；乘法的其他性质都可以由以上两条推出。因而定义了乘法。

为方便大家理解，简单翻译一下以上两条数学语言。1、a×1=a这就是说：有一个标尺“1”（乘以它值不变）。2、分配律。这就是说：乘以一个数m，其实就是把被乘的那个数以m为“倍数”线性地迭加。这不正是乘法的本质吗？因此，它当然能够导出乘法的其他性质。

大家可以试试由以上两条推出乘法的交换律、结合律。

经过思考，认为应该加一个条件3、任何两个正数的乘积都大于零。这样，在整个实数范围内这个定义都实用。有没有人有兴趣？这样把整个初等数学运算全部公理化？可以试试看。

嗯 你这种抽象的定义貌似还行
不过你说证明交换律 结合律我又想到一个问题 是否可以用图形的面积相等来证明 即两个矩形边长分别为a b a c a*b+a*c=a*(b+c) …… 之后你懂的 只是不知道行不行 由此我又想到面积和乘法间的关系 如果说面积的定义：物体的表面或围成的图形表面的大小，叫做它们的面积。 是公理的话 那么是不是可以从这个角度来定义乘法呢 我有点乱了```求指导

公理，要求是最基础的命题，它是人们对世界进行解释的最基础、微小的单位。如果你提出的所谓“公理”不是人们认知的“基本微粒”，那么你这个公理是没有意义的。
窃以为，你的这个“公理”没有意义。因为它的意义是不明朗的。“物体的表面或围成的图形表面的大小，叫做它们的面积”，对这个定义首先我想问：那表面的大小又是什么东西呢？还有，图形应该怎样定义呢？ 显然可以看出这不是人们认知的“基本单位”。
顺便我说下两个问题。
1、我对整数乘法交换律的证明：
由乘法分配律有
a*b=a*1+a*1+a*1。。。（一共有b个a*1）
= 1+1+1+1....（共a个1）
+1+1+1+1....（共a个1） {共b行}
+1+1+1+1....（共a个1）
.
.
.
运用加法交换律有
原式= 1+1+1+1....（共b个1）
+1+1+1+1....（共b个1） {共a行}
+1+1+1+1....（共b个1）
.
.
.
=b*1+b*1+b*1。。。（一共有a个b*1）
再次运用乘法分配律有
原式=b*a
2、在我这种定义下 a*无理数 的计算。（都为正数）
显然，对于 a*有理数 （a*c/d）根据分配律总有 d个a*c相加=a*c 从而可以确定a*c/d的数值。
而对 a*无理数 ，由于存在一个有理数数列a1 a2 a3 。。。。。。
其中an < an+1 ,an<无理数，lim （an -无理数）=0 、n趋于无穷大。
又由于a*0=0， 且 “任何两个正数的乘积都大于零” 容易有a*b》a*c（其中b》c）因而数列a*（a1-无理数）、a*（a2-无理数）、a*（a3-无理数）...... 有：a*（an-无理数）《a*（ an+1 -无理数）《0 容易得出数列有极限且极限为零。 因而lim（a*an）-lim（a*无理数）=lim【a*（an-无理数）】=0
最终有：a*无理数=lim（a*an） ，n趋于无限大。
这就是对 a*无理数 的解释。

你开始是用了分配率来定义了乘法 然后借用分配率证明交换律 可是我们学乘法的时候 交换律 分配率 是放在一起的 也就是说书本上面它们是作为乘法的两条性质同时出现的 因此可能以大家公认的乘法的定义不能做这种证明```
我说的面积的事我又想了一遍 我是这样想的 人们在创造 面 积 这个词的时候便给出了它公理般的定义（也许当时还没有公理这个词 或者它的意义） 即矩形的大小（面积）就等于它的边两条长的乘积（a*b） 以此来推断的话 乘法的交换律和分配率变很容易证明了结合率虽然要用到体积的公式但本质也是一样 对于交换律的证明我又发现一种方法：a*b-b*a=a*b-(b-a+a)(a-b+b)=a*b-(b-a)(a-b)-(b-a)b-a(a-b)-a*b=(a*b-a*b)+(b-a)(b-b)+a[(a-b)-(a-b)]=0
如果说你要重新定义乘法的话 我还是觉得你那个定义复杂了

a*b-b*a=a*b-(b-a+a)(a-b+b)=a*b-(b-a)(a-b)-(b-a)b-a(a-b)-a*b=(a*b-a*b)+(b-a)(b-b)+a[(a-b)-(a-b)]=0
我不知道你这是在干嘛？
你没发现你的证明过程中多次用到了乘法交换律吗？
你在用乘法分配律和交换律来证明乘法交换律吗？
你显然没有理解我上面的定义的含义。 符号是抽象的，必须转化为自然语言才容易理解。请参照9楼。