我其实就是想让乘法也像加法那样建立一个直观的模型

嗯 你这种抽象的定义貌似还行
不过你说证明交换律 结合律我又想到一个问题 是否可以用图形的面积相等来证明 即两个矩形边长分别为a b a c a*b+a*c=a*(b+c) …… 之后你懂的 只是不知道行不行 由此我又想到面积和乘法间的关系 如果说面积的定义：物体的表面或围成的图形表面的大小，叫做它们的面积。 是公理的话 那么是不是可以从这个角度来定义乘法呢 我有点乱了```求指导

你开始是用了分配率来定义了乘法 然后借用分配率证明交换律 可是我们学乘法的时候 交换律 分配率 是放在一起的 也就是说书本上面它们是作为乘法的两条性质同时出现的 因此可能以大家公认的乘法的定义不能做这种证明```
我说的面积的事我又想了一遍 我是这样想的 人们在创造 面 积 这个词的时候便给出了它公理般的定义（也许当时还没有公理这个词 或者它的意义） 即矩形的大小（面积）就等于它的边两条长的乘积（a*b） 以此来推断的话 乘法的交换律和分配率变很容易证明了结合率虽然要用到体积的公式但本质也是一样 对于交换律的证明我又发现一种方法：a*b-b*a=a*b-(b-a+a)(a-b+b)=a*b-(b-a)(a-b)-(b-a)b-a(a-b)-a*b=(a*b-a*b)+(b-a)(b-b)+a[(a-b)-(a-b)]=0
如果说你要重新定义乘法的话 我还是觉得你那个定义复杂了