刚接触立体几何，有一些看起来很简单的东西，但我不太会证【数学吧】

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刚接触立体几何，有一些看起来很简单的东西，但我不太会证

这里是个正方体，abcgsh分别是棱上的中点，结论告诉我们其构成了一个正六边形截面
但我一直搞不明白，他怎么证明这个些点共面呢？
我尝试用平行线构成平面的推论，AGCH为一个平面，GBSH也构成一个平面，但我就是不知道怎么证明这两个平面在一个平面上
而提到过如何确定线的公理应该是公里二，两个点在平面上则那条线也在平面上，可我也没办法证明这两个平面是否存在交点，更没办法证明其共面
再者我也无法去推导正方体的体对角线是否在这个截面上
我刚接触基础不太好，这个问题我看着挺好证但就是想不出来，现在有点脑雾了，谁能教教我

送TA礼物

IP属地:山东

来自Android客户端1楼2026-03-14 18:28回复

一个简单的方法，做两条棱中点的连线，也就是六边形对角线的连线，然后这条线和两个边平行，就好证了

IP属地:北京

2楼2026-03-14 18:39

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不感兴趣

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你这样可以证明六个顶点中任意四个共面，就能证明六个点共面

IP属地:四川

来自iPhone客户端3楼2026-03-14 19:08

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你证明垂直于平面SAGB的体对角线也与平面SHCB垂直，且两平面有公共直线SB，所以这两平面为同一平面

IP属地:河北

来自Android客户端4楼2026-03-14 19:24

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如图所示。
首先延长AG，交正方体棱的延长线于点P。在正方体顶面所在的平面内，容易知道，延伸出的部分的长度是正方体棱长的一半。
现在连接PB。根据长度关系，容易证明P、B、C三点共线。
现在我们就得到了A、B、C、G四点共面，其余两点不难证得。

IP属地:安徽

来自Android客户端6楼2026-03-14 19:58

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AC、GH、SB两两分别相交，故两两分别共面，故三线共面，六点于三线上，故六点共面

IP属地:山西

来自Android客户端7楼2026-03-14 20:03

或者利用相似三角形、线线相交系关系延长六边形各边，可得一正三角形(由相似三角形、线线相交系可证)，三点必共面，故原六边形为平面六边形，六点共面

IP属地:山西

来自Android客户端9楼2026-03-14 20:08

一个方法是使用空间向量，优点是不需要思考，缺点是不直观。
建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为二，则ABCDEF六个点坐标分别是（1，0，2）（0，1，2）（0，2，1）（1，2，0）（2，1，0）（2，0，1），然后写出向量AB（-1，1，0），AF（1，0，-1），计算AB×AF=（-1，-1，-1）得到平面ABF法向量，分别用向量AC，AD，AE与法向量作点积，结果均为0，从而证明均共面

IP属地:陕西

来自Android客户端10楼2026-03-14 20:28

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不感兴趣

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建系以后求出平面AHCG的方程，证明S、B坐标满足方程

IP属地:上海

来自iPhone客户端11楼2026-03-14 21:09

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可以证出任意相邻的三条线共面（梯形），而两条相交线确定一个平面，那所有线就共面了

IP属地:天津

来自Android客户端12楼2026-03-14 21:19

写一下hh（为什么我at不出来.jpg）的做法。
首先容易发现BS和AG均与顶面的（其中一条）面对角线平行，这样就能得到四点共面，如图1所示。
紧接着，考虑连接正方体的三个顶点得到的三角形面，可以证明体对角线与这个平面垂直，如图2所示。利用平行传递得到体对角线分别与AG、AS垂直，从而体对角线与平面AGBS垂直。