矢量三角形是人为定义的，但服从这个定义的前提下，很明显夹角越大，和的模越小，并且与夹角的cos值相关。您可以定义另外一个乘法，是absinθ，但这不是点乘，也不是向量的和

用向量线性运算和数量积的定义推证出余弦定理本身并没有用到三角函数，并不会循环论证。至于定义的合理性这个涉及到可定义内积(也就是数量积)的线性空间，内积不是随便定义的，必须要满足一定的要求，感兴趣可以去问一下D大师

你终于发现余弦定理是定义了

物理里面有向量X乘，结果还是向量，大小就是absinθ；方向垂直于向量ab，符合右手定则

没有循环论证，因为你并没有推回到原本定义的东西。
你当然可以定义点乘是absinθ，但是你也得重新定义这个点乘的性质。

你搞反了，平面上的点乘定义是x₁x₂+y₁y₂，你完全可以用这个推导出abcosθ

参考：

就是循环论证，循环论证点在于没人解释为啥a和b内积是abcos theta
当成costheta等价定义就好

那不是推导吧，只是把余弦定理用向量的形式写出来，是另一种表达法。
类似的，每学习一种新表达，就会把之前学过的东西重新列举一遍，只是为了以后常用罢了

关键在于乘法分配律的推导，如果点乘的分配律是通过余弦定理证明的，再用他来证明余弦定理当然是循环论证，但是我们可以用投影的线性性来证明分配律，这就不存在问题了。而另一个问题是为什么把点乘改成absinθ就不行了呢？这是因为改成sinθ的话分配律就不成立了，自然也不能这样推导余弦定理，事实上这个定义与叉乘已经很接近了，只差乘以一个向量，而叉乘具有反交换律和分配律，由此可以证明正弦定理。所以定义其实都可以定义，关键在于定义有没有好的性质

只有点乘（数量积）具备得是向量的代数属性，其他的运算仍然是它的几何属性好吧！

那直接定义a,b内积为kab，同样可以推导出k的表达式，这时候反而是角度定义依赖于几何，这个θ反过来可以定义成arccosk，这样说你能明白吗

几年前我上高中的时候也是这样想的，当时很诧异为什么学的时候同学里没别的人质疑这个问题。
其实问题就是高中课本讲的不详细。这件事的逻辑本应该是这样的：①通过单位圆，我们定义平面几何中的角度概念；②利用向量的点积，我们在向量空间中定义角度概念；③通过点与直线，联系平面几何与二维的向量空间；④证明这两个角度的定义等价；⑤得到结论，“向量点积下的余弦定理成立”，等价于“平面几何中的余弦定理成立”。
这个过程，就像是有两座岛，一座叫几何岛（A岛），另一座叫向量岛（B岛），岛屿A和岛屿B想建海上桥梁联通两地，双方各自让自己的施工队修桥，最终证明它们修到中间（余弦定理）是同一个地方，所以可以接成一座完整的桥。而课本上的就像是A岛的施工队缺席了，B岛施工队修到余弦定理之后，把桥往前延伸修到了陆地，最后还要说这桥修的真漂亮，但是丝毫没告诉学生，这桥最后是如何保证自己延伸修到的陆地端就是A岛？