参考我发的上一楼，我觉得过程可以这样写：
①先从平面几何证明余弦定理；
②用坐标定义向量，这个时候我们只知道两个向量的内积是“x_1*x_2+y_1*y_2”，不知道另一种表达方式，也不知道它和余弦值有什么联系，甚至不知道点积的乘法分配律，但我们可以算出来，假如向量c等于a-b，那么c²的值就是a²+b²-2a·b（点积），这个相当于是向量语境下的“余弦定理”；
③把向量对应到平面几何中进行理解，此时再对照平面几何的“余弦定理”，正好发现“向量a点乘向量b，就是a和b的模相乘，再乘以夹角余弦值”；④完成上面三步，我们就能发现向量完成了从代数到几何意义的转换，点积也被赋予了几何意义，那这个时候就已经算是承认两种余弦定理是同一个东西了。

这个是人教版高中课本的内容。如图，图①先从物理概念引入，强制让你接受“向量a·向量b＝|a||b|cosθ”；
图②引入基底的概念后，可以推导出向量点积的坐标表示，就是x_1*x_2+y_1*y_2；
图③直接根据图①中的内积定义，得到余弦定理。
你发现了吗？这个过程有两处疑点，一是直接定义内积的几何表达形式，仅仅用物理算功的公式举了例子，没有说明这样做在数学上的合理性，整个定义比较天马行空；二是证明余弦定理的时候，又根据前面天马行空式的内积定义直接导出结果，这是个大问题。
这两个问题也就是让你纳闷，让你发这篇帖子的关键疑点。
那么比较妥当的过程应该是什么样？
我觉得定义平面向量就应该从坐标表示开始讲起，先谈坐标表示，定义好加减法、数乘、点积。也就是说一开始应该单纯从代数运算说起，内积就直接定义为a·b＝x_1*x_2+y_1*y_2。
如果想介绍它和平面几何的联系，首先应该只用平面几何的知识，证明余弦定理成立，然后画出三角形，再根据余弦定理，证明a·b＝x_1*x_2+y_1*y_2是等价于a·b＝|a||b|cosθ的。
也就是说向量在几何意义上的这些合理性，就应该由平面几何给出。
向量本身是一个横跨“几何”与“代数”界限的工具，在这个“代数”层面，你随便定义向量，这都没问题，规则随便定也没人管，就跟规则怪谈一样，学生只要遵守种种规则进行运算就行了；
而在“几何”方面，就该小心了，所有向量规则的制定都应该遵从现有的几何规则。平面向量加减法、数乘，这些被通过几何方式定义没事，它和现有的几何学不冲突，二者属于是各玩各的；那内积呢？内积不行。假如内积直接通过几何方式告诉你定义就是a·b＝|a||b|cosθ，那就可以通过这个定义，结合加减法的定义，直接导出余弦定理，这就属于是越过三八线的行为了，完全是有瑕疵的。
这也是为什么我说应该先从代数定义开始谈起，然后用现有的几何学的余弦定理，验证向量代数推出的余弦定理的合法性，从而让向量点乘有一个合理的“几何学”化身。

变成absinθ之后a×a就是0了，并且一些运算律也不再满足，不是余弦定理不成立，而是你什么都得不到

平面几何学是建立在欧几里得那几条公理体系的，中学也按这个教，而现代数学都是建立在ZFC上的.(不过Hilbert貌似严格化了这几条公理)事实上我们可以在一个实内积空间上定义点，距离，长度，角度的概念，此处即为2维欧式空间