9=x^3+y^3仅有1,2或2，1两组正有理数的解。证明如下：

以下声明的所有变量均为正整数。
设X=A/B,Y=D/B,A、B、D不含相同质因子(易证，AB互质，证明略)。
则(A^3+D^3)/B^3=9
A^3+D^3=9B^3
(A+D)^3=3AD(A+D)+9B^3
可知，A+D含3因子，设A+D=3K
代入，得3K^3=ADK+B^3
1)当K=1时，
3=AD+B^3
3-B^3=AD>0
故，B=1
由A+D=3,得A=1,D=2,或A=2,D=1.
这就是X=1,Y=2,或X=2,Y=1的解。
2）K>1时，
由3K^3=ADK+B^3
可知，B^3必含K因子。
设B^3=KT
代入，3K^3=ADK+KT
K^2(3-T/K^2)=AD>0
故T=K^2,或T=2K^2
故，B^3=K^3或2K^3
所以B=K或2^(1/3)K（舍去）
所以B=K。
所以2B^2=AD。
考察2B^2=AD,若B有质因子P，则有两种情况：A有一个P因子，D也有，这与假设ABD不具有相同质因子矛盾；A或B有P^2因子。所以设B=MN，A=2M^2,D=N^2或B=MN,A=M^2,D=2N^2.不失一般性，只讨论A=2M^2,D=N^2的情况，另一种情况同理可证。
A+D=3K=3B
可知：2M^2+N^2=3MN
2M^2=N(3M-N)
讨论MN,
1)若M,N均不是1.因为M,N互质，且不为1，所以N不含M里的质因子，N只能=2.
M^2=3M-2
可知，M=2或1
M=2与N=2矛盾，M=1与假设不符。
所以没有此种情况的MN.
2）M=1时，
B=MN，A=2M^2,D=N^2
知A=2,D=N^2,B=N
由A+D=3B
可知2+N^2=3N
得出N=1或2，M,N都为1时，B=1,A=2,D=1，其实就是X=2,Y=1的解。此时K=1,与假设不符。
3）N=1时，
B=MN，A=2M^2,D=N^2
知A=2M^2,D=1,B=M
由A+D=3B
可知2m^2+1=3M
得出M=1/2(舍去)，1（此时B=1讨论的假设K>1矛盾，舍去）
综上，方程只有1，2或2，1的正有理数解。

20楼，Y是负的好不好。

我发现错误了。

设B^3=KT
代入，3K^3=ADK+KT
K^2(3-T/K^2)=AD>0
故T=K^2,或T=2K^2
这里错了。

T不一定正整除K^2.

接着这里证明：
3K^3=ADK+B^3
K>1时：

B^3含有K因子，设B=T1T2T3,K=T1T2^2T3^3
则包含所有B^3含K因子的所有情况。

将B,K代入3K^3=ADK+B^3，两边同除以K
3（T1*T2^2*T3^3)^2=AD+(t1t2t3)^3/(t1t2^2t3^3)
3T1^2*T2^4*T3^6=AD+T1^2*T2
T1^2*T2(3T2^3*T3^6-1)=AD

因为A+D=K=T1*T2^2*T3^3
所以T1=1,T2=1.
下面证明这个：
假设T1<>1,那么A或D必然有T1因子，假设A有T1因子，则
D=T1(T2^2*T3^3-A)必然有T1因子，与AD互质矛盾。
所以T1=1,T2=1
则B=T3,K=T3^3
3T3^6-1=AD
3K^2-1=AD

将A=3K-D代入。
（3K-D)*D=3K^2-1
3KD-D^2=3K^2-1
D^2-3KD+3K^2-1=0

9K^2-4(3K^2-1)必为平方数且>=0
即-3k^2+4>=0
K^2<=4/3
所以K=1,与假设矛盾。K=1的情况已证明