直觉上会有一系列的轨道都满足你所说的这种性质，即对于其中的任意一条轨道，其他轨道的长度和对应运动时间不能同时小于它的。摆线和直线都属于上述轨道系列。
形式化问题：给定起点(0,0)、终点(a,b) (a,b>0)，选取水平向右、竖直向下为x轴、y轴正方向，取g=1。设轨道一阶光滑，由参数方程x=x(t), y=y(t), t∈I描述。一个质点沿轨道运动，已知初始静止，并且在仅受重力的情况下能够运动到终点。设符合以上全部条件的轨道的全体为C，任取f∈C：
轨道长度L[f]=∫ ((x')^2+(y')^2)^(1/2) dt
运动时间T[f]=∫ (((x')^2+(y')^2)/(2*y))^(1/2) dt
现在欲研究C在L[f]和T[f]上的Pareto前沿。
对于每个Pareto最优的轨道f，存在常数μ≥0，使得f是泛函J[f]=L[f]+μ*T[f]的极值曲线，其中μ是权衡长度和时间的参数。
当μ=0时，J[f]=L[f]，对应直线轨道；当μ→∞时，J[f]由T[f]主导，对应趋于摆线的轨道。
如果轨道f有显表示：y=y(x), x∈[0,a], y(0)=0, y(a)=b，则上述泛函可以写为：
J[f]=∫ √(1+(y')^2)*(1+μ/√(2*y)) dx
由Eular-Lagrange方程，我们有首次积分：
(1+μ/√(2*y))/√(1+(y')^2)=constant
这就是欲研究的轨道族的性质。
注意到cosθ=1/√(1+(y')^2)，其中θ是对应点切线与水平方向的夹角，这说明1/cosθ是1/√y的一次函数。这就是上述性质的几何解释。

这好像是一个逻辑问题，反过来说既然只有直线满足最短，摆线满足最快，那只能既是摆线又是直线，那只能是两固定点连成直线的方向在引力方向上

直线本身满足这个性质。摆线也是。

f属于F，当然这个F是函数空间（无穷维向量空间），可以用这个S（f）可以代表这个泛函的计算其函数长度的值，G（f）代表另外一个泛函用于计算其下降时间的值。那么，对于一个约束问题，对于任意固定的S（f）＝的超平面上，寻找梯度G＝0的最小l值（筛掉极大值点），那么最后就获得了一个K（·l）的一个曲线簇，这个簇本身的意义就是，在任意曲线长固定为l的情况下，其下降的最小时间T。再在这个曲线簇中按若l1大于l2则T1大于T2去掉逆序的曲线即可。那么最后留下的是线长小的，不会有线长更小的其下降时间比它大。

就是假如最后图是这样的，那就是S1和S2这一段加上S0这个起点就行。反正就是一个找是否有逆（顺）序的问题。

“弱 Pareto 最优” 的概念，感觉 2L 能将其转化为单一一个加权泛函的极值这一步很关键，查了一下只需要两个目标泛函组成的算子值域为凸集时这一步就是对的（证明用到泛函分析中的凸集分离定理）。

这个是个双目标优化问题，一般定义是一个解满足你说的那种如果另一个解A比他强B就比他弱就被称为可接受的解，然后最终的计算结果是一组可被接受的解的集合。具体是数学建模的内容，如果能接受工程学一点的话，写成解析式可以用遗传算法之类的求。

这不就摆线和直线，只能这两才能满足这要求吧，一个最快一个最短

欧拉拉格朗日方程，就可以求出来

这个问题的解不具有唯一性，特别的直线和滚轮线是两个平凡解。

第一直觉是，直线和最速降线都满足

这个应该得到的是一簇曲线吧，最速降线和直线是两个特解

你这要求能量化吗？

我的围棋和乒乓球🏓能分别打败马龙和李昌镐，可是似乎并没有啥用啊？