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大佬们教教我🥲

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事情是这样的：上完微积分课后老师提出一个问题，无穷个无穷小相乘是否为无穷小，此时有同学定义了一个函数如图1，然后有人对定义提出疑问如图2，他认为k趋于正无穷时n趋于正无穷无意义，且认为n趋于正无穷时n+1与n是相等的。但lz仅针对这个疑问认为n趋于正无穷时应该是存在k＞n的，否则就是否认了实数集是无穷的因为这样n就成为最大的数了。这时候又有人说我可以这样认为，但这种定义仍然存在歧义。所以我想问问各位大佬具体的歧义在哪里以及n趋于正无穷时能否取到k＞n
IP属地:福建来自iPhone客户端1楼2025-09-30 13:17回复
    取k=n²不可以吗
    IP属地:内蒙古来自Android客户端2楼2025-09-30 14:03
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      2026-01-29 01:48:16
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      上微积分课，考虑得还挺多。 首先你要有感觉，无穷不是《大》，而是《后》。意思是，你先给个确定的数，我再给个大的多的数。 比如你这里先去k趋于无穷，再取n趋于无穷， 本质上是对任意的m，可以取到足够大的k1，在取出k1后，又可以取更加足够大的n1>k1，使得x(n1)(k1)>m。
      IP属地:四川来自Android客户端3楼2025-09-30 14:18
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        我没看懂。图一n→无限且等式右侧＝无限的等式，左侧是（1/(n+1)）^k，怎么等于无限的？
        IP属地:重庆来自Android客户端4楼2025-09-30 17:02
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          典，其实说白了这个东西就是文字游戏，这个反例早就有了。
          之所以说不一定是因为无穷多个无穷小不一定是同时趋于无穷小，一些数趋于无穷小时另外的“无穷小”甚至是无穷大
          根本上这是“无穷多个收敛于0的数列的乘积不一定收敛于0”的反例，无穷多个无穷小本身就意义不明，因为无穷小量的定义就是在数列上。但是你要是说无穷多个很小的数相乘，那就另当别论了
          但是这个结论没啥意思，以后你学函数后不故意构造怎么会遇到大量无穷小相乘不为零的情况
          IP属地:吉林来自Android客户端5楼2025-09-30 17:11
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            如果只说n趋于正无穷不说后面的东西（诸如，函数/数列）都是没啥意义的情况，因为趋于正无穷本身就必须和极限结合在一起说
            IP属地:德国来自Android客户端6楼2025-09-30 17:34
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              这个是经典定义模糊，n趋于无穷后，自然不存在k＞n，即x_n已经是一个发散数列了。否则和那帮认为存在0.000000…1（中间存在无穷个0）的人有区别吗？
              IP属地:四川来自Android客户端7楼2025-09-30 18:16
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                看看知乎网页链接
                IP属地:广东来自Android客户端8楼2025-09-30 19:04
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                  2026-01-29 01:42:16
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                  构造没有问题，对每一个自然数k，x_k,n都是存在的。至于k→+∞的时候x_k,n的通项发生什么事情，这件事不应该沿着n看而应该沿着k看。
                  IP属地:江西来自Android客户端9楼2025-09-30 21:09
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                    当然趋于0，而且是高阶无穷小
                    IP属地:河北来自Android客户端10楼2025-09-30 21:38
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                      本质上是累次极限是否可交换的问题，在这个例子中，先对n求极限，那么k是有限数，结果是0；而先对k求极限，结果是无穷，但此时也不再是无穷个无穷小相乘了，而是无穷个无穷大相乘。
                      IP属地:河北来自Android客户端11楼2025-09-30 22:21
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                        累乘那一步看起来怪怪的。累乘的每一项都是lim∏的形式，累乘取极限应该是limΠlimΠ也就是两个累乘符号之间隔着一个lim才对，这样看就没有一点歧义。
                        反倒是图里两个Π挨一起有点不对，毕竟这个Π和lim不一定能交换。而且从定义上看对任意k里面那个极限都是0那整个极限也是0，不该是无穷。
                        IP属地:广东来自Android客户端12楼2025-10-01 01:02
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                          二重极限在有些时候顺序是很重要的，不同的顺序有不同的结果很正常
                          IP属地:陕西来自iPhone客户端13楼2025-10-01 01:51
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                            本质上就是一个二维的序列，a（m，n），你求他的无穷乘积。实际上乘积和求和是没有本质区别的，无非是取log罢了。而对于符号不同的二维序列的求和（放到乘积里面就是在大于1和小于1之中震荡，不同的顺序当然可以有不同的结果。如果能任意指定顺序且有一个顺序收敛并不绝对收敛，那么由Riemann重排定理可得你可以重排出任意结果
                            IP属地:陕西来自iPhone客户端14楼2025-10-01 02:08
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                              2026-01-29 01:36:16
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                              我们说k趋近于无穷，不是说给它一个固定的数值，而是你给出任意一个数n，k都会大于n，这样一个过程
                              IP属地:贵州来自Android客户端15楼2025-10-01 03:02
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