matt？我刚在🍠上看到

定理的11那一行，e^-sπi（看着像π），s取不到整数，sin（sπ）≠0，求和的系数是复数，剩下两部分都是实数的，它只能算出非零虚部的复数解

你过一遍证明就知道问题在哪里了。
选取分支时，(z-a)^r与(b-z)^s全部在左侧分支，也就是a<z<b时从上侧到下侧辐角减小2πs，z<a时从上层到下侧辐角减小2π(r+s)，由于r+s是整数所以p(z)=(z-a)^r(b-z)^s在[a,b]以外解析。此外取[a,b]下侧p(z)辐角为0。
积分回路外侧是一个足够大的大圆，其上的积分是p(z)/z^(r+s) A/z沿大圆的积分，而p(z)/z^(r+s)≈(-1)^s=e^(sπi)，此时大圆上的积分在半径趋于无穷时等于2πie^(sπi)A
中间积分回路是沿[a,b]的回路，紧贴[a,b]上下两侧+沿小圆绕过分支点a,b，且方向是反向的（在上侧从左到右、下侧从右到左）。r,s>-1时即可保证小圆半径趋于0时积分也趋于0；[a,b]下侧从左到右的积分为目标积分J，那么上侧从左到右的积分是e^(2sπi)J，所以这一部分积分等于(e^(2sπi)-1)J
加起来就是2πiΣRes=2πie^(sπi)A+(e^(2sπi)-1)J，所以s不为整数时有J=π/sin(sπ)(e^(-sπi)ΣRes-A)
书上的公式或者是哪里的分支选取有差别，或者干脆符号错了，留数那一项的e^(-sπi)应该在分子
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这个积分里r=1/4, s=3/4，因此z=-i处arg(1-(-i))^(3/4)=3/16 π, arg(1+(-i))^(1/4)=-1/16 π, arg p(-i)=1/8 π; z=i处arg(1-i)^(3/4)=21/16 π, arg(1+i)^(1/4)=1/16 π, arg p(i)=11/8 π
所以Res(F,-i)=ie^(iπ/8)/√2, Res(F,i)=-ie^(11iπ/8)/√2, e^(-3iπ/4)ΣRes=(e^(iπ/8)+e^(-iπ/8))/√2=√2 cos(π/8)
最终J=π/sin(3/4 π) (√2 cos(π/8)-1)=(2cos(π/8)-√2)π=(√(2+√2)-√2)π

上面我最开始更像是在算柯西主值，这样的话觉得合理。然后下面说由书中公式算出来的复数取模原来也可以是正确答案

想了一下，书里应该是取(z-a)^r(b-z)^s在[a,b]上侧幅角为0而不是下侧，此时结果就和原公式一样了。
那么z=i时arg(1+i)^(1/4)=1/16 π, arg(1-i)^(3/4)=-3/16 π, arg p(i)=-1/8 π
z=-i时arg(1-i)^(1/4)=-1/16 π, arg(1+i)^(3/4)=-21/16 π, arg p(i)=-11/8 π
Res(F,i)=-ie^(-1/8 πi)/√2=e^(-5/8 πi)/√2, Res(F, -i)=ie^(-11/8 πi)/√2=e^(-7/8 πi)/√2
e^(3/4 πi)ΣRes=(e^(1/8 πi)-e^(-1/8 πi))/√2=√2 cos(π/8)
后续就一样了，J=π/sin(3/4 π) (√2 cos(π/8)-1)=(√(2+√2)-√2)π

史济怀的复变习题不要做，那里面习题是从文章里面摘出来的