只会证唯一性，不会证存在性，也不知道证的对不对
大佬看看捏

回忆攻击

显然a,b能表示ab平面内的向量，只需调整c使得cp与ab平面平行，而c不在ab平面内，这肯定能做到

从解析几何的角度考虑。对于任意(a，b，c)有(a，b，c)=a(1，0，0)+b(0，1，0)+c(0，0，1)存在性得证

这个问题就是3维空间的本质问题，本是不需要证明的。如果一定要证明，那就有个起点：3个数的数组（x，y，z)唯一对应一个空间向量；反之，空间一个向量，也唯一对应一个3数组（x，y，z)；
实际上，这就是空间向量的直角坐标系的分解。
从这个起点出发，就不难证明楼主所要求的存在性定理。

@侧云 我觉得应该有一个垂直平面辅助证明

感觉有点难扯。对高中生来说可能8楼是最好的解释。从线性代数来说，我们之所以称一个空间是三维的，就是因为这个空间的极大线性无关组有3个向量（你可以理解为空间内最多有3个向量abc，他们满足xa+yb+zc不为零），所以如果存在性不成立，这个空间就不是三维的。另外，我认为上面有提到坐标的答案都有循环论证之嫌。lz就不好奇为什么向量可以写成坐标吗。当一个向量被写成坐标，你就默认了向量基本定理成立。

学了高等代数之后会很好理解

线性空间中的任一元素可以被该空间的一组基的线性组合唯一表示.

尝试用代数法？

高中课本并没有严格定义向量(事实上我们把满足某些公理的空间叫作向量空间，其元素称为向量)，你所说的空间是一个三维实线性空间，于是其中任意一个向量可用基唯一线性表出。

不共线的话三个矢量可以用施密特正交化化成单位向量，三维空间里一个向量可以拆成他们的线性组合，从投影的角度来看