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来人啊

是的，先沿直径剪开，于是相当于把两个圆盘（等价于半球壳）的边界粘起来

取一条直径你好像在说沿着直径，然后沿对称点就是边界圆，只粘合它，就成了一个实心的，边界是线段的2维带边流形，所以它还是同胚于圆盘的。
如果你的意思是和1楼一样，沿直径剪开。又看到这个球壳，它应该是在说带边界的半球面，然后粘合弧线边界和线段边界，自然是球面。
最后当你挖一个点时，球面和平面同胚，但是一般情况下挖掉闭区间会有边，挖掉闭圆盘有洞

其实更常规的描述是把圆盘的边粘成一个点得到的就是S^2，如果是粘碟子的两边的话可能还有歧义，如果出于某种原因你粘合的时候是反着粘的话会粘成RP2