第二张图原图

这样子：第一题，记f(x)=e^x-2x²+1, 则f'(x)=e^x-4x, f''(x)=e^x-4, 则f'(x)≥f'(ln4)=4(1-ln4)＜0，则f'(x)在(ln4, +∞)存在零点，即f(x)在(ln4, +∞)存在极小值点，记f'(x₀)=0, 则exp(x₀)=4x₀, 其中x₀＞ln4＞1，而f'(2)=e^2-8＜0，f'(13/6)=e^(13/6)-26/3＞7.38*1.18-26/3＞0，则x₀∈(2, 13/6), f(x₀)=1+4x₀-2x₀²=3-2(x₀-1)²＞3-49/18=5/18＞0
f(0)=2＞0，则min(f(x), x＞0)＞0，证毕
第二题，不妨记x=tan t(t∈(0, π/4)), 则tan tcos t=sin t＜sin tan t，右边成立；然后根据观察得：中间显然成立；接下来证明左边：ln(1+x)＜x/√(1+x), 记√(1+x)=u, 则原式↔2lnu＜(u²-1)/u, 即lnu＜(u-1/u)/2，x∈(0, 1), 则u＞1，有一个结论：x＞1时，2(x-1)/(x+1)＜lnx＜(x-1/x)/2, 显然原式成立
证毕

求导得到
令e^x-4x
再求导得到令e^x-4＝0只有一个根ln4
可以得到e^x-4x在负无穷到ln4单调递减，ln4到正无穷单调递增
因为e^x-4x过（0，1），且4-4ln4＜0，因此可以判断e^x-4x在0到无穷有两个根
不妨设两个根为x1与x2且0＜x1＜x2
那么e^x-2x^2+1在x1到x2单调递减，另外2个区域单调递增
也就是说函数y＝e^x-2x^2+1在0到无穷的最小值是y(x2)，注意x2是e^x-4x的根
因此y(x2)＝4x-2x^2＋1＞0结论即可成立（不打x2免得看不清）
可以算出抛物线的正根＝1+0.5＊根号6＜2.2
即抛物线在0到2.2＞0
只需要证明x2≤2.2即可
事实证明e^2.2-4*2.2＞0，因此结论成立
事实又有e^2.15-4＊2.15＜0
e^2.16-4＊2.16＞0
因此如果这是一个正规的题目，题目必须给出
e^2.16≈8.611类似的数字结果，
让考生去判断x2的取值范围，从而判断出x2＜1＋0.5*根号6

看函数图像好像好一点，直接一大一小了

哇，我的楼的回答怎么没了？

第一个是个比较简单的函数，关心极值就能解决问题。手算求不出极小值点，只能知道极小值点对应的方程，那干脆用含极小值点x₀的多项式f（x₀）表达极小值，因为这能把不好算的eˣ处理掉
如果把新多项式中的x₀当成变量的话，新多项式f（x₀）和f（x）表面上是关系不大的；但实际上极小值点x₀是个定值，所以这个多项式f（x₀）本身也就是个定值——接下来只需要算一个满足的x₀的范围就行，这个范围要包含x₀的实际取值并且要满足不等式