很好的一题，就是不太适合当考试题目
可能我太菜了
引理1：如图1，△ABC，H为垂心，S为南极点，圆O为外接圆，SH交圆O于K，作KH中垂线交AB，AC于F，E，则AFEK共圆。
延长AH交圆O于D，SD交BC于G，所以易证角SGB=角SKD，又BG为HD中垂线，所以G为△KHD外心，所以G在EF上，所以角EGK=角KDH=角KCE，所以KECG共圆，所以K为完全四边形AFBCGE密克点，所以AFEK共圆
引理2：如图2，△ABC，H为垂心，S为南极点，圆O为外接圆，BH，CH交AC，AB于D，E，ED交BC于T，过H作BC平行线交AT于M，SH交圆O于K，则MK=MH。
设N为北极点，HM交圆O于X，Y，交NK于Z，显然AT为圆O与圆（AH）根轴，又KH，KZ为角XKY的内外角平分线，故XYHZ为调和点列且角HKZ=90°，设HZ中点为M'，则M'Y·M'X=M'H²，又M'H为圆（AH）切线，故M'在AT上，即M于M'为同一点，故MK=MH
此时过M作KH垂线交AC，AB于P，Q，交圆O于I，J，因为MJ为KH中垂线，且NK⊥SK，所以NIHJ为平行四边形，又由引理1得角PHQ=角PKQ=角BAC，且AH为角PHQ平分线，由同一法得，这说明当P，Q为AC，AB上的点，PQ交NH于L，若角PHQ=角BAC且AH平分角PHQ时，L为NH中点，且LO⊥PQ，又LO∥HS，故HS⊥PQ，且PQKA共圆
总结：基本字母同图2，称上述直线PQ为A-h线（随便编的，仅为了方便叙述），则以下几个命题等价：（1）直线h为A-h线（2）直线h为KH的中垂线（3）直线h交AC，AB于P，Q，有角PHQ=角BAC且AH平分角PHQ（4）直线h交NH，AC（AB）于L，P，有L为NH中点且角AHP=1/2角BAH
引理3：如图3，点的定义皆为原题的定义，L'N'交圆O于G，则G为A的对径点。
设N'L'交BC于K，显然DCLL'为等腰梯形，所以角DCL'=角CDL=角NBC=角BCN，所以CNL'共线，又角L'CB=角CBN=角N'BC，所以BN'∥CN，同理DL'∥EN'，故BK/KC=N'K/KL'=EK/KD，作CT⊥AC交KN'于T，所以CT∥DN'，结合前面的比例有BT∥EN'，所以BT⊥BA，所以T在圆O上，记T，G为同一点，故G为A的对径点
引理3可以帮我们重新定义N'L'为过N'和A的对径点的直线
下面我们将原题进行一个简单的转化，如图4，△ABC，外接圆为圆O，H为垂心，N，M为南北极点，S为N的对称点，SD⊥AC交BC于D，F为CD中点，G为A的对径点，过C作MH的垂线交SG于L，证明：LF∥AN
设BC中点为J，MH中点为W，AH中点为T，过H作SC的垂线交AC于E，又因为AH⊥BC，SD⊥AC，所以△AHE∽△DCS，所以角AHW=角SCB=角CBN=1/2角BAC，所以WE为A-h线，所以WE⊥HN，因为G为A的对径点，所以GH中点为J，又SN中点为J，所以SG∥HN，所以SG⊥WE，又CL⊥WH，所以四边形EAWH∽四边形SDLC，且这两个四边形对应线垂直，所以FL⊥WT，又WT∥AM，AN⊥AM，所以FL∥AN
可能我太菜了引理1：如图1，△ABC，H为垂心，S为南极点，圆O为外接圆，SH交圆O于K，作KH中垂线交AB，AC于F，E，则AFEK共圆。
延长AH交圆O于D，SD交BC于G，所以易证角SGB=角SKD，又BG为HD中垂线，所以G为△KHD外心，所以G在EF上，所以角EGK=角KDH=角KCE，所以KECG共圆，所以K为完全四边形AFBCGE密克点，所以AFEK共圆
引理2：如图2，△ABC，H为垂心，S为南极点，圆O为外接圆，BH，CH交AC，AB于D，E，ED交BC于T，过H作BC平行线交AT于M，SH交圆O于K，则MK=MH。
设N为北极点，HM交圆O于X，Y，交NK于Z，显然AT为圆O与圆（AH）根轴，又KH，KZ为角XKY的内外角平分线，故XYHZ为调和点列且角HKZ=90°，设HZ中点为M'，则M'Y·M'X=M'H²，又M'H为圆（AH）切线，故M'在AT上，即M于M'为同一点，故MK=MH
此时过M作KH垂线交AC，AB于P，Q，交圆O于I，J，因为MJ为KH中垂线，且NK⊥SK，所以NIHJ为平行四边形，又由引理1得角PHQ=角PKQ=角BAC，且AH为角PHQ平分线，由同一法得，这说明当P，Q为AC，AB上的点，PQ交NH于L，若角PHQ=角BAC且AH平分角PHQ时，L为NH中点，且LO⊥PQ，又LO∥HS，故HS⊥PQ，且PQKA共圆
总结：基本字母同图2，称上述直线PQ为A-h线（随便编的，仅为了方便叙述），则以下几个命题等价：（1）直线h为A-h线（2）直线h为KH的中垂线（3）直线h交AC，AB于P，Q，有角PHQ=角BAC且AH平分角PHQ（4）直线h交NH，AC（AB）于L，P，有L为NH中点且角AHP=1/2角BAH
引理3：如图3，点的定义皆为原题的定义，L'N'交圆O于G，则G为A的对径点。
设N'L'交BC于K，显然DCLL'为等腰梯形，所以角DCL'=角CDL=角NBC=角BCN，所以CNL'共线，又角L'CB=角CBN=角N'BC，所以BN'∥CN，同理DL'∥EN'，故BK/KC=N'K/KL'=EK/KD，作CT⊥AC交KN'于T，所以CT∥DN'，结合前面的比例有BT∥EN'，所以BT⊥BA，所以T在圆O上，记T，G为同一点，故G为A的对径点
引理3可以帮我们重新定义N'L'为过N'和A的对径点的直线
下面我们将原题进行一个简单的转化，如图4，△ABC，外接圆为圆O，H为垂心，N，M为南北极点，S为N的对称点，SD⊥AC交BC于D，F为CD中点，G为A的对径点，过C作MH的垂线交SG于L，证明：LF∥AN
设BC中点为J，MH中点为W，AH中点为T，过H作SC的垂线交AC于E，又因为AH⊥BC，SD⊥AC，所以△AHE∽△DCS，所以角AHW=角SCB=角CBN=1/2角BAC，所以WE为A-h线，所以WE⊥HN，因为G为A的对径点，所以GH中点为J，又SN中点为J，所以SG∥HN，所以SG⊥WE，又CL⊥WH，所以四边形EAWH∽四边形SDLC，且这两个四边形对应线垂直，所以FL⊥WT，又WT∥AM，AN⊥AM，所以FL∥AN
