10093 水中碎片

有点问题，如果不强调“凸四边形”，将无法确定唯一一个四边形(因为四条线会围成完全四边形)这会对第一问产生影响，但是第二问毫发无损
证明：引理：(正交引理)
对任何一个非对称四点形(任意类型的对称)，存在唯一一个四点形(相似的算一种)使得1、两者不相似 2、两者的六对边对应垂直 证明：唯一性易证(考虑作图顺序即可) 下证存在性。先取定一个四边形的三个定点ABC，做另一个定点D关于另三点构成三角形的等角共轭点gD，做gD反垂足三角形DaDbDc，则gDDaDbDc满足条件，证毕。
回到原题，对不对称的四边形，易知中间的三角形和大小两个三角形都满足引理条件，由唯一性相似立即得证。若大四边形有内心，则其有三个角的角平分线交于一点。它们分别中间三角形的对应三个角的角平分线垂直。再次利用引理知中三角形的三条角平分线共点，证毕。
对称的情况很容易说明命题成立
懒得画图导致描述起来相当费劲，见谅(画图偷懒结果打了这么多字，我何苦呢)

捞一下，教练说可以计算中垂四边形对边和相等并且计算量很小虽然没看见过程

在图中令S=0;U=1;
各角对应的单位复数如图
则计算可得各点复数表示如下
R =1 - (Z1^2 - 1)/(Z1^2*Z2^2 - 1)
T =(Z4^2 - 1)/(Z3^2*Z4^2 - 1)
V =-1/(Z3^2*Z4^2 - 1)
W =(Z1^2*(Z2^2 - 1) - Z1^2*Z3^2*(- Z1^2*Z2^2*Z4^2 + Z1^2*Z2^2 + Z2^2*Z4^2 - 1))/((Z1^2*Z2^2 - 1)*(Z1^2*Z3^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1))
Z =1/(Z1^2*Z2^2 - 1) + 1
A1 =(Z1^2*Z2^4*Z3^2*Z4^4 - Z1^2*Z2^4*Z4^2 - Z1^2*Z2^2*Z3^2*Z4^4 + Z1^2*Z2^2 + Z4^2 - 1)/((Z1^2*Z2^2 - 1)*(Z2^2*Z4^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1))
C1 =(Z1^4*Z2^4*Z3^4*Z4^6 - 2*Z1^4*Z2^4*Z3^4*Z4^4 + Z1^4*Z2^4*Z3^2*Z4^2 + Z1^4*Z2^2*Z3^4*Z4^2 - Z1^4*Z2^2*Z3^2 - Z1^2*Z2^4*Z3^4*Z4^6 + 2*Z1^2*Z2^4*Z3^2*Z4^4 - Z1^2*Z2^4*Z4^2 + 2*Z1^2*Z2^2*Z3^4*Z4^4 - 2*Z1^2*Z2^2*Z3^2*Z4^4 - Z1^2*Z2^2*Z3^2*Z4^2 + Z1^2*Z2^2 - Z1^2*Z3^4*Z4^2 + Z1^2*Z3^2 + Z4^2 - 1)/((Z1^2*Z2^2 - 1)*(Z1^2*Z3^2 - 1)*(Z2^2*Z4^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1)^2)
B1 =1/((Z2^2*Z4^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1)) + (Z1^2*Z2^4*Z4^2)/((Z1^2*Z2^2 - 1)*(Z2^2*Z4^2 - 1))
E1 =(Z1^2*(Z1^4*Z2^6*Z3^4*Z4^4 - Z1^4*Z2^6*Z3^2*Z4^2 - Z1^4*Z2^4*Z3^4*Z4^4 + Z1^4*Z2^4*Z3^2 - Z1^2*Z2^6*Z3^2*Z4^4 + Z1^2*Z2^6*Z4^2 + Z1^2*Z2^4*Z3^2*Z4^2 - Z1^2*Z2^4 + 2*Z1^2*Z2^2*Z3^2*Z4^2 - 2*Z1^2*Z2^2*Z3^2 + Z2^4*Z3^2*Z4^4 - Z2^4*Z4^2 - 2*Z2^2*Z3^2*Z4^2 + 2*Z2^2 + Z3^2 - 1))/((Z1^2*Z2^2 - 1)^2*(Z1^2*Z3^2 - 1)*(Z2^2*Z4^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1))
D1 =(Z1^2*Z2^2 - Z1^2*Z3^2*(Z1^2*Z2^2 + Z2^2*Z4^2 - 1))/((Z1^2*Z2^2 - 1)*(Z1^2*Z3^2 - 1)*(Z3^2*Z4^2 - 1))
经计算可知
四边形B1C1D1E1相似于四边形STUR
四边形STUR ，四边形VWZA1 是圆外切四边形均等价于
Z1 - Z2 - Z3 + Z4 + Z1*Z2*Z3 - Z1*Z2*Z4 - Z1*Z3*Z4 + Z2*Z3*Z4==0
所以命题成立