我最近在物理方面研究一类函数的性质，比方说对于f(x)=(x+k)²(x-k)²+k²，存在3个极值点±k和0，而其中两个对称的极值点±k的值都是f(k)，求解方程f(a)=f(b)和f'(a)=f'(b)，其实会得出f(k)=f(-k)和f'(k)=f'(-k)，就能得出相应的这两个极值点的函数值跟k的关系：y(k)=k²。然后因为这个解是非常对称的，比方说k=3和k=-3是完全一样的结果，因此有一个映射T使f(T(k))=f(k)并且它的逆f(T⁻¹(k))=f(k)，在这个例子中T则是T(k)=-k。现在我想证明这个映射必定是某种形式或者说探究这种对称性，应该是涉及数学的哪个方面？想看看相关的定理或者说明。
因为楼主不是数学系的，所以对涉及的领域不太清楚望大佬们赐教，十分感谢。