由恒等式 (a²-3b²)(c²-3d²)= (ac+3bd)²-3(ad+bc)² 可知, 只要方程存在一组正整数解, 则存在无穷多组正整数解(因为2²-3×1²=1)
而且只需要证明当素数p≡1(mod 12)时x^2-3y^2=p有正整数解, 就可以推出主楼的结论
证法类似于费马二平方和定理, 而且如果把p=-11,-23,…也算作满足p≡1(mod 12)的素数, 那原结论中k>0的要求可以去掉, 改成非零整数k可以表示成若干模12余1的素数之积

和此方程对应，x²+3y²=k，k为12t+1的素数或者
它们的乘积，方程也有解。但解只有一个或有限个。

这是佩尔方程。如果k素因数p，不满足
p≡1(mod12)，方程也可能有解。
例如k=22，33，46，69等。