要学完哪些数学课程才能看懂黎曼几何？

最好先看看张量分析之类的书，要不然指标会让人疯掉的。
当然2楼说的基础是必须的。

微积分，线代，实分析，点集拓扑
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除了这些，还需要本科时开的射影几何与微分几何（即曲线与曲面的微分几何），硕士开的李群，微分流型，微分拓扑等
看你是那个方向的（黎曼几何也分很多方向的，如李群方向或调和方向），也会用到代数拓扑与调和分析

因为我学过抽象代数、点集拓扑、微分几何、代数拓扑、仿射几何，所以我姑且就利用比较“现代化”（MODERN）的言语来说一下古典的射影几何、古典的微分几何、古典的射影代数几何、近世的微分几何（MODERN DIFFERENTIAL GEOMETRY）、黎曼微分几何、近世的代数几何这几者之间的关系吧~~~~~~~~~~


古典的射影几何是建立在古典欧几里得几何基础上的，古典欧几里得几何的研究对象是仿射直线、仿射平面、或者三维仿射空间----必须是赋予了一个叫做DISTANCE(距离)或METRIC（度规）的k维仿射空间（k只取1、2、3）----中的点、曲线、曲面。而古典的射影几何的背景空间，是通过把带有度规的k维仿射空间（k只取1、2、3）按某种方式紧化（不是单点紧化），也就是添加了一些无限远的元素而得到的。
射影几何的背景（容器）是通过把带有度规的k维仿射空间紧化，也就是附加了一些东西而得到的。而仿射几何的背景----也就是仿射空间，是通过把带有度规的k维仿射空间的度规所遗忘掉（去掉）而得。直观地说，在欧几里得几何-----也叫距离几何中，我们可以求长度、求面积、求夹角，这都要拜“度规”这个奇妙的朋友所赐，当然还有“平移”--另一位朋友，是比较不那么“奇妙”的。除去了度规后，正交变换会扩大，会有保角变换（也叫共形变换。可回忆一下复变函数里保角映射的定义），还有其他的一些东西。
总之，仿射几何里，长度不可以求，面积无法算，角度也更是无法构造；射影几何也一样。原因就是，仿射几何跟射影几何的背景空间，都没有被赋予度规。
这里不得不提到两种变换：平行投影变换和中心投影变换。

前者是从一个点出发，散发出条条射线（想象一下物理学中的“点光源”）。后者是构造用一些相互平行的直线，来把将要研究的几何对象上的所有的点，用这些直线来对应到一些新的点。（没有写完，现在我必须下线了。。。）

很抱歉，刚刚只是开了一个头。黎曼几何与射影几何二者之间真正的关系，还没有回答完。但是，黎曼几何既然是作为微分几何的一个分支，必然涉及度规、联络等等。。。。。。
不先说古典的射影几何、古典的微分几何、古典的射影代数几何、近世的微分几何的话，直接谈黎曼微分几何与射影几何的关系，是没有意义的。
开学来了再接着写吧。。。

这个帖子沉了吗？

只有一页的贴吧怎么沉...

微分几何和实分析好象没什么蛮大关系，和射影几何好象也关系不大。古典的微分几何在200年前的Gauss时代就有了，它研究嵌入在3d欧几里得空间的1维，2维流形，工具就是向量分析，多元微积分而已。一般的工科大学生都很容易看懂古典的微分几何教材，这是微分几何直观的，基本的东西

古典微分几何不需要什么基础，确实一般工科大学生都没什么问题。
但是近代微分几何就比较抽象，对于工科大学生就比较困难，而且和拓扑的关系很密切，如果能在学微分几何之前学过实分析，看微分几何会轻松一点，有些实分析教材里就包含有点集拓扑的内容。

学过拓扑和微分流形就差不多了。。。

这要求也不低了...如果都是很认真的学过