问题完整的描述在下面的图片.
*问题的动机*: 当问题中的子集S就是群G时, 有一个蛮经典的结论是: 我们能证明划分中的单位元一定是群G的一个正规子群, 并且该划分会构成群G的一个商群(事实上, 这也可以视为'正规子群'定义的一个动机). 现在我想看看, 当群G的子集S具有相似的条件时, 能不能迫其成群, 进而自动具备更精细的商群结构(利用上述'经典结论').
*我的尝试*: 我们不难发现S和划分P都有半群结构, 当G为有限群时, 单位元与逆元的存在性都能依靠阶的有限性, 在S中''乘出来''. 但当G为无限群时候, 我基本上就束手无策了(我更倾向于''反例是存在的'', 但也构造不出来...).