- 非标准系统 **必须兼容标准系统**，否则没人会用。 - 比如： - 标准实数 1 和非标准超实数 1 是同一个东西，所以“+”运算在标准实数上行为必须一致。 - 集合论里，“∈”在标准和非标系统里都表示“属于”，否则数学家会疯掉。 - 这样做的目的是： - **减少学习成本**（不用重新记符号）。 - **保持兼容性**（标准数学的定理在非标里仍然成立）。 - **方便比较**（比如非标微积分和标准微积分可以互相翻译）。
## **更准确的比喻：非标 = 本体游戏的“模组（Mod）”**
- **标准数学 = 原版《我的世界》**（只有标准方块和物理规则）。
- **非标准数学 = 装了“无限小 Mod”的《我的世界》**（现在你可以建造比像素还小的东西，或者比整个世界还大的建筑）。
- **为什么 Mod 仍然用“方块”这个符号？**
- 因为如果 Mod 把“方块”改成“球”，玩家会不习惯。
- 但 Mod 的“方块”已经可以无限分割或无限叠加，和原版完全不同。
**非标准系统**是独立于标准系统的数学框架，通常通过扩展公理或引入新概念构建。
- 它们**不能被标准系统包含**，因为标准系统缺乏描述非标对象的能力。
- **符号共用**主要是为了直观性和便利性，但需注意符号在新系统中的具体定义。
- 非标准系统与标准系统在逻辑和模型上是分离的，但通过嵌入或扩展保持一定联系。