长得像黎曼。。

青青的我走了，正如我清清的莱，我挥一挥衣袖，留下了衣袖一条

回复：3楼青青的我来了 不知谁的衣袖留下路边 我拾起 向着你的路走去了

泰勒公式及中值定理，
v(n)=(2n+1)/(n^2+n)^s+(1+...+n^2)s(s+1)/(n^2+α)^(s+2) (α∈[0,2n])
≥(2n+1)/(n^2+n)^s+(1+...+n^2)s(s+1)/(n^2+2n)^(s+2)，
v(n+1)=(2n+3)/((n+1)^2+(n+1))^s+(1+...+(n+1)^2)s(s+1)/((n+1)^2+β)^(s+2) (β∈[0,2n+2])
≤(2n+3)/((n+1)^2+(n+1))^s+(1+...+(n+1)^2)s(s+1)/(n^2+2n+1)^(s+2)，
只需证明：
(2n+1)/(n^2+n)^s-(2n+3)/((n+1)^2+(n+1))^s≥(1+...+(n+1)^2)s(s+1)/(n^2+2n+1)^(s+2)-(1+...+n^2)s(s+1)/(n^2+2n)^(s+2)。
两边分别通分化简，利用(1+x)^p-1与px同阶估计n的次数，左端n的次数大于右端n的次数。
错了勿怪


大湿。。。

笔误，二阶导前面都应该分别再乘个n的一次式，不过应该不影响结论。
没乘的话算出来左边比右边高两次。

回复：7楼
我第一步就没看懂。。。。。。

f(t):=1/(n^2+t)^s，
f(k)=f(n)+(k-n)f'(n)+(k-n)^2f''(θ_k)/2，
对k=0,...,2n求和：
v(n)=(2n+1)f(n)+(1^2+2^2+...+n^2)f''(θ)/2，
θ为θ_1,...θ_2n所构成线段内部一点。不用乘1次式。

回复：9楼
v(n)=(2n+1)f(n)+(1^2+2^2+...+n^2)f''(θ) 没有/2

回复：5楼
最后一步又看不懂了。。。相同符号的移到一起之后，左边和右边的次数似乎相等的啊。。。怎么利用(1+x)^p-1与px同阶

(2n+1)/(n^2+n)^s-(2n+3)/((n+1)^2+(n+1))^s
=[(2n+1)(n+2)^s-(2n+3)n^s]/[n^s(n+1)^s(n+2)^s]
=(2n+1)[(1+2/n)^s-(1+2/(2n+1))]/[(n+1)^s(n+2)^s]
=(2n+1)[2s/n-2/(2n+1)+o(1/n)]/[(n+1)^s(n+2)^s]
=[2s(2n+1)-2n+(2n+1)o(1)]/[n(n+1)^s(n+2)^s]是n的-2s阶。
(1+...+(n+1)^2)s(s+1)/(n^2+2n+1)^(s+2)-(1+...+n^2)s(s+1)/(n^2+2n)^(s+2)
=(1/6)s(s+1)(n+1)[(n+2)(2n+3)/(n^2+2n+1)^(s+2)-n(2n+1)/(n^2+2n)^(s+2)]
=(1/6)s(s+1)(n+1)[(2n^2+7n+6)(n^2+2n)^(s+2)-(2n^2+n)(n^2+2n+1)^(s+2)]/
[(n^2+2n+1)^(s+2)(n^2+2n)^(s+2)]
=(1/6)s(s+1)(n+1)(2n^2+n)[(1+(6n+6)/(2n^2+n))-(1+1/(n^2+2n))^(s+2)]/
[(n^2+2n+1)^(s+2)]
=(1/6)s(s+1)(n+1)(2n^2+n)[(6n+6)/(2n^2+n)-(s+2)/(n^2+2n)+o(1/n^2)]/
[(n^2+2n+1)^(s+2)]
=(1/6)s(s+1)(n+1)[(6n+6)(n^2+2n)-(s+2)(2n^2+n)+(2n^2+n)o(1)]/
[(n^2+2n+1)^(s+2)(n^2+2n)]
是n的-(2s+2)阶。
故n充分大时左边大于右边。


回复：12楼
这…………技巧真是层出不穷啊。。。。。