刚刚题目打错了，非常不好意思

可以先找到k的一个倍数k', 使得k'+1是完全平方数
然后证明存在无穷多对素数p<q, 使得∏d(n) (p^k'≤n≤q^k') 是完全平方数, 由于d(q^k')=k'+1是完全平方数, 所以只需要使得∏d(n) (p^k'≤n< q^k')是完全平方数就可以了
如果用r(n)表示正整数n的无平方因子部分, 可以用抽屉原理来证明, 对任意正整数m, 都存在素数p<q使得m≤p^k'<q^k', 且满足r(∏d(n) (p^k'≤n< q^k')) = 1

取一个足够大的素数P使得2^(P-1)>m, 如果正整数n<2^(P-1), 按照d(n)的公式可以推出d(n)的所有素因子都小于P
将满足m<p^k'<2^(P-1)的所有素数p由小到大列为p₁,p₂,…,p[t], 则t≥ π(2^[(P-1)/k'])-π(m^(1/k'))-1
对1≤i≤t, 分别设s[i]= d(m)d(m+1)…d(p[i]^k'-1), 因为s[i]的最大素因子小于P, r(s[i])最多只有2^(π(P)-1)种不同可能
按照素数定理, 当素数P足够大时可以满足t>2^(π(P)-1), 这是因为π(exp(C₁*P))> exp(C₂*π(P))对足够大的P都成立
这时由抽屉原理一定存在1≤i<j≤t使得r(s[i])=r(s[j]), 也就满足r(∏d(n) (p[i]^k'≤n< p[j]^k')) = 1

感觉是靠归纳出来的

d(m^k)是什么意思？