(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)

a^n+b^n+c^n奇偶性相同，因此2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)必为偶数，证毕

注意到:(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2*(a*b+b*c+c*a)。可知2*(a*b+b*c+c*a)是整数。
假设a*b+b*c+c*a不是整数，则2*(a*b+b*c+c*a)^2=2*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)+4*a*b*c*(a+b+c)也不是整数。由2*(a^4+b^4+c^4)=2*(a^3+b^3+c^3)*(a+b+c)-2*(a^2+b^2+c^2)*(a*b+b*c+c*a)+2*(a+b+c)*a*b*c。可知，4*(a+b+c)*a*b*c是整数。而(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^2+2*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)，可知2*(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)也是整数，这与2*(a*b+b*c+c*a)^2不是整数矛盾。

题目有问题：a^n+b^n+c^n均为正数中的“均”是什么意思？单个式子“均为”整数？

拿去

把a+b+c平方，易证

牛顿公式就行了

可以分类讨论4种情况都是同奇偶的。
或者反证法应该也可以论证同奇偶。