纯循环是从小数点后第一位开始循环, 正有理数q<1能表示成n进制下纯循环小数的充要条件是, 存在正整数k和m<n^k使得q=m*(1/n^k+1/n^(2k)+…) , 也就是q=m/(n^k-1), 满足这个条件的最小的k就是q的循环节长度
当q=a/b<1, gcd(a,b)=gcd(b,n)=1时, 取k=φ(b), 由欧拉定理可得(n^k-1)/b是正整数, 令m=a*(n^k-1)/b, 满足前面的条件, 说明a/b是n进制的纯循环小数
当q=a/b<1, gcd(a,b)=1, q是n进制的纯循环小数时, 存在正整数k与m<n^k-1使得a/b = m/(n^k-1), a(n^k-1)=bm, 由a,b互素可得b | n^k-1, 所以gcd(b,n)=1
当q=a/b<1, gcd(a,b)=gcd(b,n)=1时, 取k=φ(b), 由欧拉定理可得(n^k-1)/b是正整数, 令m=a*(n^k-1)/b, 满足前面的条件, 说明a/b是n进制的纯循环小数
当q=a/b<1, gcd(a,b)=1, q是n进制的纯循环小数时, 存在正整数k与m<n^k-1使得a/b = m/(n^k-1), a(n^k-1)=bm, 由a,b互素可得b | n^k-1, 所以gcd(b,n)=1
