9886K005

T神的，以前写过个很繁杂的证明

△ABC外心O,垂心H,九点圆圆心N.重心G，G关于N对称点为G'，P,gP等角共轭，PgP与双曲线(ABCHP)第二交点为D，Na,Nb,Nc分别为BPC,CPA,APB的九点圆圆心，P的卡诺△OaObOc，P的反角共轭点P'的卡诺△Oa'Ob'Oc'，△OaObOc的重心为Gp，△Oa'Ob'Oc'重心Gp'，易知Gp与Gp'关于G对称，POa',POb',POc'中点为Na,Nb,Nc，Oa'关于G'作－1/2位似得点Na'，易知AHNa'共线，作PE＝3G'Gp'(向量)，易证Ob'EOc'与NcNa'Nb位似.
引理1:BDC对NcNa'Nb的类透视锥线过H.
证明:由9934可得OE⫽HD，即证.
引理2:若P在△ABC的K005，则D关于△ABC的反角共轭点在OP上.
证明:设ABCP和ABCgP的Poncelet点分别为X,Y，OP,OgP方向上无穷远点的等角共轭点分别为Y',X'，X'P与圆(ABC)第二交点F，X为HX'中点,Y为HY'中点，XY为P和gP关于△ABC的垂足圆与九点圆的根轴，故PgP⊥X'Y'，从而(有向角)∠X'PD＝∠PX'Y'＋90°＝∠FX'Y'＋90°＝∠OPH（取斯坦纳线），即证.
引理3:若P在△ABC的K005，则OOa'Ob'Oc'PE共等轴双曲线.
证明:由引理2和10029知OOa'Ob'Oc'P共等轴双曲线，由10031知E也在其上.
引理4:若P在△ABC的K005，BDC对NcNa'Nb的类透视锥线过P.
证明:设P关于OaObOc的补点与O连线与过OaObOcO的等轴双曲线Γ第二交点为F，因为△OaObOc与△Oa'Ob'Oc'逆相似，由类透视锥线的结论，F与E为逆相似对应点，设圆(Oa'Ob'Oc')与Γ第四交点为J，只需证JF∥OP，视角转化到△OaObOc，由Liang-Zelich定理、引理2及10013即证.
回到原题，引理1和引理4表明△BDC和△NcNa'Nb正交，证毕.
作为推论，设P在AH上投影为Pa，则△NbNcE与△CBD逆相似.

楼上引理4提到的类透视锥线的结论是关于逆相似三角形的，简单介绍一下.
△ABC与△DEF逆相似，△ABC对△DEF的类透视锥线记作Γ_1，△DEF对△ABC的类透视锥线记作Γ_2.
①两三角形正交，正交中心为对应类透视锥线与外接圆的第四交点（如△ABC对△DEF的正交中心为Γ_1与圆(ABC)的第四交点），Γ_1,Γ_2渐近线方向为逆相似的对称轴方向(BC与EF内外角分线方向).以上导角易证.
②P∈Γ_1，△ABC∪P逆相似于△DEF∪Q，则Q∈Γ_2，若AD,BE,CF共点O，POQ共线.
证明:设△ABC对△DEF正交中心S_1，△DEF对△ABC正交中心S_2，导角知△ABC∪S_1逆相似于△DEF∪S_2，故Γ_1逆相似于Γ_2，Q∈Γ_2，逆相似给出射影对应P→Q，故O[P,A,B,C]＝O[Q,D,E,F]，POQ共线.
③若AD,BE,CF共点O，逆相似的不动点K为Γ_1与Γ_2除O外的第二交点，两点M,N满足AM,BM,CM分别平行于DN,EN,FN，则MKN共线.
K∈Γ_1∩Γ_2是②的推论，由5000.2.4.1 (5)，MNK共线.