再加一问：是否存在单调的实数对实数的映射，使任意的a属于无理数，a=f(x)有至少两个解

1和2
f(x)=ln|x|，补充上f(0)=t。
三想不到。

你也许会对cantor函数感兴趣

第三个，可以构造出来但不太好描述。

第三个用正余弦分段函数行吗

1：很明显不可能，否则对每个实数a，f^-1(a)会至少包含一个闭区间，在这个闭区间内任取有理数q=q_a，这样a→f^-1(a)→q会是R→Q的单射，矛盾。2楼的同理。
2：看起来是可能的，我个人的想法是把Cantor函数做调整，让它每个平台都对应0~1之间的一个有理数，这个看起来有点像树的东西应该可以用一个叫Calkin-wilf tree的方式遍历0~1的有理数。最后把很多个这样的函数之间用平线段连起来应该就达到要求了。
3：看起来有点阴间...奇数是可以构造的，折线上下上上下上就行了；偶数看起来不太行的感觉，但不知如何严谨证明。看起来说不定能证明f在闭区间内有界变差？如果能做到的话就有f几乎处处可微，在任意区间内非常值，可以试着画一条横线避开所有尖点和极值点，然后一上一下穿针引线就有一边没法去到无穷就矛盾了。不过这中间看着缺好多东西（小声