间隔2x的两个素数判别式
摘要：素数p>2，p±2x是否仍然为素数？可以作为研究论证孪生素数猜想、克拉梅尔猜想、相邻素数间隔变化规律等等的重要依据。分析可知：客观上存在着，普适性判别式
a^(p±2x-1)≡1(mod(p±2x))
aϵN,a>1,x≥1,p>2
用以检验判断任意素数p>2时，奇数 p±2x≥3 的“合素”属性。
关键词：素数间隔，相邻素数，奇数 p±2x 的“合素“属性判别式
一，概念，定义，符号
1，自然数a>1
2，素数序列：p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,⋯
3，相邻素数：(p_n,p_(n+1) )
4，相邻素数间隔：d=p_(n+1)-p_n=2x≥2
5，两个素数（不一定相邻）间隔：d=q-p=2x>4
6，
二，孪生素数判别式
素数间隔：d=q-p=2，称q&p为孪生素数。
根据欧拉-费马小定理，对于任意自然数a>1，皆有
a^(p-1)≡1(modp)
a^(q-1)≡1(modq)
由于p&q=p+2都是素数，即有孪生素数判别式
a^(p+1)≡1(mod(p+2))
三，间隔为4的相邻素数判别式
素数间隔：d=q-p=4，p&q为相邻素数。
根据欧拉-费马小定理，对于任意自然数a>1，皆有
a^(p-1)≡1(modp)
a^(q-1)≡1(modq)
由于p&q=p+4都是素数，即有间隔为4的相邻素数判别式
a^(p+3)≡1(mod(p+4))
四，间隔为d=2x>4的相邻素数的判别式
素数间隔：d=q-p=|±2x|>4，p&q不一定是相邻素数。
根据欧拉-费马小定理，对于任意自然数a>1，皆有
a^(p-1)≡1(modp)
a^(q-1)≡1(modq)
由于p&q=p±2x都是素数时，上面两个式子成立。推知：
满足判别式
a^(p±2x-1)≡1(mod(p±2x))
则p±2x是素数；不满足判别式，则p±2x是合数。
五，若干实例
实例1：p=3，a=2,3
2^(p+1)≡1(mod(p+2))↔2^(3+1)≡1(mod5)
3^(p+1)≡1(mod(p+2))↔3^(3+1)≡1(mod5)
(3,5)是孪生素数。
实例2：p=5，a=2,3
2^(p+1)≡1(mod(p+2))↔2^(5+1)≡1(mod7)
3^(p+1)≡1(mod(p+2))↔3^(5+1)≡1(mod7)
(5,7)是孪生素数。
实例3：p=13，a=2,3
2^(p+3)≡1(mod(p+4))↔2^(13+3)≡1(mod17)
3^(p+3)≡1(mod(p+4))↔3^(13+3)≡1(mod17)
(13,17)是间隔为4的相邻素数。
实例4：素数p=13，自然数a=2,3；奇数q=p+2x=p+6
根据判别式2^(p±2x-1)≡1(mod(p±2x))
得到
2^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔2^(13+5)≡1(mod19)
3^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔3^(13+5)≡1(mod19)
(13,19)是间隔为6的 非相邻素数对。
2^(p-2x-1)≡1(mod(p-2x))↔2^(13-7)≡1(mod7)
3^(p-2x-1)≡1(mod(p-2x))↔3^(13-7)≡1(mod7)
(13,7)是间隔为6的 非相邻素数对。
实例5：p=23，a=2,3；2x=2,6
根据判别式2^(p±2x-1)≡1(mod(p±2x))
得到
2^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔2^(23+1)≢1(mod25)
3^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔3^(23+1)≢1(mod25)
q=p+2=23+2=25 不是素数。
2^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔2^(23+5)≡1(mod29)
3^(p+2x-1)≡1(mod(p+2x))↔3^(23+5)≡1(mod29)
(23,29)是间隔为6的 相邻素数对。
2^(p-2x-1)≡1(mod(p-2x))↔2^(23-7)≡1(mod17)
3^(p+2x-1)≡1(mod(p-2x))↔3^(23-7)≡1(mod17)
(23,17)是间隔为6的 非相邻素数对。
参考资料：
1 初等数论： 潘承洞，潘承彪著 1997.6 月 北京大学出版社
2 组合数学： 屈婉玲 著 1997.9 月 北京大学出版社
3 王元论哥德巴赫猜想 李文林著 1999.9 月 山东大学出版社
4 数学与猜想 G.玻利维亚 2001.7 月 科学出版社
5 数论导引 哈代 著 2008.10 月 人民邮电出版社
6 华罗庚文集 2010.5 月 科学出版社
7 代数数论 冯克勤 著 2000.7 月 科学出版社