1.求函数f(x)的定义域：
- 对于函数f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-9\ln x，由于对数函数y = \ln x的真数须大于0，即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0,+\infty)。
2.求a的取值范围：
- 先对f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-9\ln x求导，根据求导公式(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}，(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}，可得f^\prime(x)=x-\frac{9}{x}=\frac{x^{2}-9}{x}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}，x\in(0,+\infty)。
- 令f^\prime(x)=0，即\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}=0（x>0），解得x = 3。
- 当0<x<3时，f^\prime(x)<0，f(x)单调递减；当x>3时，f^\prime(x)>0，f(x)单调递增，所以x = 3是f(x)的极值点。
- 因为f(x)在[a - 1,a + 1]上存在极值点，所以\begin{cases}a-1<3\\a + 1>3\end{cases}。
- 解不等式a-1<3，得a<4；解不等式a + 1>3，得a>2。
- 所以a的取值范围是(2,4)。
综上，函数f(x)的定义域为(0,+\infty)；a的取值范围是(2,4)。
- 对于函数f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-9\ln x，由于对数函数y = \ln x的真数须大于0，即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0,+\infty)。
2.求a的取值范围：
- 先对f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-9\ln x求导，根据求导公式(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}，(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}，可得f^\prime(x)=x-\frac{9}{x}=\frac{x^{2}-9}{x}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}，x\in(0,+\infty)。
- 令f^\prime(x)=0，即\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}=0（x>0），解得x = 3。
- 当0<x<3时，f^\prime(x)<0，f(x)单调递减；当x>3时，f^\prime(x)>0，f(x)单调递增，所以x = 3是f(x)的极值点。
- 因为f(x)在[a - 1,a + 1]上存在极值点，所以\begin{cases}a-1<3\\a + 1>3\end{cases}。
- 解不等式a-1<3，得a<4；解不等式a + 1>3，得a>2。
- 所以a的取值范围是(2,4)。
综上，函数f(x)的定义域为(0,+\infty)；a的取值范围是(2,4)。
