如果不超过正整数N的所有正整数1,2,…,N一共有k种不同素因子p₁,p₂,…,p[k], 按照算术基本定理, 对任意满足1≤n≤N的正整数n, 都存在唯一一组非负整数α₁,α₂,…,α[k]使得n=∏p[i]^α[i] (1≤i≤k)
又因为2^α[i]≤p[i]^α[i]≤n≤N, 所以α[i]≤log₂N对每个n和每个i 都成立
所以在这个乘积
S=∏(1+1/p[i]+1/p[i]²+…+1/p[i]^log₂N) (1≤i≤k)的展开式中, 对任意1≤n≤N, 1/m都恰好会出现一次, 可得S≥∑1/n (1≤n≤N)
另一方面由于1+1/p[i]+1/p[i]²+…+1/p[i]^log₂N < p[i]/(p[i]-1), 所以S< ∏p[i]/(p[i]-1) (1≤i≤k)
由此可得∑1/n (1≤n≤N) < ∏p[i]/(p[i]-1) (1≤i≤k) = ∏(1-1/p[i])^(-1) (1≤i≤k)
如果除了p₁,p₂,…,p[k]以外没有其它素数, 那∑1/n (1≤n≤N) < ∏(1-1/p[i])^(-1) (1≤i≤k)对任意正整数N都成立, 与∑1/n (1≤n≤N)发散矛盾, 所以假设是不成立的, 一定存在无穷多个素数
又因为2^α[i]≤p[i]^α[i]≤n≤N, 所以α[i]≤log₂N对每个n和每个i 都成立
所以在这个乘积
S=∏(1+1/p[i]+1/p[i]²+…+1/p[i]^log₂N) (1≤i≤k)的展开式中, 对任意1≤n≤N, 1/m都恰好会出现一次, 可得S≥∑1/n (1≤n≤N)
另一方面由于1+1/p[i]+1/p[i]²+…+1/p[i]^log₂N < p[i]/(p[i]-1), 所以S< ∏p[i]/(p[i]-1) (1≤i≤k)
由此可得∑1/n (1≤n≤N) < ∏p[i]/(p[i]-1) (1≤i≤k) = ∏(1-1/p[i])^(-1) (1≤i≤k)
如果除了p₁,p₂,…,p[k]以外没有其它素数, 那∑1/n (1≤n≤N) < ∏(1-1/p[i])^(-1) (1≤i≤k)对任意正整数N都成立, 与∑1/n (1≤n≤N)发散矛盾, 所以假设是不成立的, 一定存在无穷多个素数
