比如在R上有界必有确界，闭区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理，柯西完备，它们是等价的。
但是有界必有确界只在R上成立，闭区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理，柯西完备都至少推广到R^n，甚至有更广泛的适用性。但是同时，在R上，这几个中也只有有界必有确界能证明阿基米德原理，闭区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理，柯西完备都不能证明阿基米德原理。
以上面的案例为特例，大胆猜想一下，如果在一定条件下，几个等价的命题中，一些命题拥有更广泛的适用性，是否就一定意味着是以放弃了该条件下的某些性质为代价呢？如果不是，请举出反例。如果是，是为什么呢？