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这是四面体棱切球存在的充要条件
如果AB+CD = AC+BD, 那△ABC和△BCD的内切圆与BC相切于同一点P (由内切圆的性质AB-AC=BP-CP, BD-BC=BP'-CP'可得切点P,P'重合)
由此如果过这两个圆心I, I'分别作所在面的垂线l,l', 可以证明这两条垂线会相交
当AB+CD=AC+BD=AD+BC时, 推出四个面内切圆圆心处的垂线两两相交, 由于其中任意三条不共面而两两相交, 可以推出它们交于同一点
这四条直线共点, 再用垂线的性质证明这一点到每条棱的距离都相等, 因此以这点为球心, 这个距离为半径的球就是四面体ABCD的棱切球
反过来如果要证明必要性, 可以由球外一点到球的任意两条切线段长度相等推出来
如果AB+CD = AC+BD, 那△ABC和△BCD的内切圆与BC相切于同一点P (由内切圆的性质AB-AC=BP-CP, BD-BC=BP'-CP'可得切点P,P'重合)
由此如果过这两个圆心I, I'分别作所在面的垂线l,l', 可以证明这两条垂线会相交
当AB+CD=AC+BD=AD+BC时, 推出四个面内切圆圆心处的垂线两两相交, 由于其中任意三条不共面而两两相交, 可以推出它们交于同一点
这四条直线共点, 再用垂线的性质证明这一点到每条棱的距离都相等, 因此以这点为球心, 这个距离为半径的球就是四面体ABCD的棱切球
反过来如果要证明必要性, 可以由球外一点到球的任意两条切线段长度相等推出来
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