滴滴滴

错

不可以，你这只能说明对任意的p,q都存在对应的λ满足条件，不能说明存在一个一致的λ

草，45套，这题我还恰好做过。这个解法完全没找到题目设问所在，错的。答案方法很好了，如果熟悉共轭手段也可以做

举个例子，比如说想象一个数列为An等于1/n，这个数列每一项都是正数，但是不存在这么一个正实数λ，小于它的每一项，这道题难度还是挺高的，当时我也做过

我觉得，你没用到整系数二次方程根的性质，可能是不对的
这个题我建议先试试求根公式

此题是刘维尔定理的特例

https://proofwiki.org/wiki/Liouville%27s_Theorem_(Number_Theory)

应该考虑通分，设x_0满足的整系数多项式，系数除掉最大公因数（primitive）多项式为f，那么|f(p/q)-f(x_0)|=|f(p/q)|=|a_0q^2+a_1pq+a_2p^2|/q^2. 注意到分母大于等于1/q^2. 另一方面|f(p/q)-f(x_0)|=|a_1(x_0-p/q)-a_2(x_0-p/q)^2|=|x_0-p/q||a_1+a_2(x_0-p/q)|<=|x_0-p/q|\cdot max{|a_1,a_2|}(1+|x_0-p/q|)<={2|x_0-p/q|, if |x_0-p/q|>1; 2, if |x_0-p/q|<=1}. 根据这两种情况可以得到两个bound，取最小的就可以了

其实我们考虑更一般的情形：x属于A_n for some n. 看到第三问这个表述，是不是相当于|x-p/q|小于等于右边的p/q只有有限多。我们考虑这个更“宽”的问题：x属于A_n for some n，取lambda=1，q上面的指标由2变为kappa，其中kappa严格大于2: x\in A_n for n>1, 证明集合{p/q\in Q: q>1,|x-p/q|<1/q^kappa}是有限的。这个问题可以留作练习

这道题在大学竞赛辅导书上见过，可用狄利克雷定理推导