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某个平面区域D，D沿垂直与D的平面运动。D的面积为S
对于D，建立坐标系(x,y)
对于每个截面上对应x、y相同的点所组成的一条曲线L，有无数条这样的曲线
重要性质：根据D的运动特点，必有对于位于同一截面上的点，这些点所对应的曲线L，L在这些点上的曲率中心重合。对L建立坐标，可以由曲率半径ρ及转角θ表示曲线L。
因此这个空间区域上每一点可以描述为(x,y,ρ,θ)
所以对于同一截面上的点，必有ρ(x,y,θ)=ρ(x0,y0,θ)+A(x,y)
ρ(x,y,θ)是某一截面上的点(x,y)对应曲线L的曲率半径
ρ(x0,y,θ)是这一截面上形心(x0,y0)对应曲线L的曲率半径
A(x,y)是点(x,y)到(x0,y0)的距离（可以为负值），而且必有(D)∫∫A(x,y)dxdy=0（本身形心就满足这个性质）
设形心对应的曲线L，长度为l
所以微元体积dV=dxdyds
ds是点(x,y,ρ,θ)对应的曲线L的微元长度
ds=ρdθ=ρ(x,y,θ)dθ=ρ(x0,y0,θ)dθ+A(x,y)dθ
设曲线L对应的启示转角为0，终转角为θ0
所以V=∫∫∫dxdyds=∫∫∫[ρ(x0,y0,θ)dθ+A(x,y)dθ]dxdy
=∫∫∫ρ(x0,y0,θ)dxdydθ+∫∫∫A(x,y)dxdydθ
=(0,θ)∫ρ(x0,y0,θ)dθ(D)∫∫dxdy+(0,θ)∫dθ(D)∫∫A(x,y)dxdy
因为(D)∫∫dxdy=S，(D)∫∫A(x,y)dxdy=0，(0,θ)∫ρ(x0,y0,θ)dθ=l
所以V=lS
对于D，建立坐标系(x,y)
对于每个截面上对应x、y相同的点所组成的一条曲线L，有无数条这样的曲线
重要性质：根据D的运动特点，必有对于位于同一截面上的点，这些点所对应的曲线L，L在这些点上的曲率中心重合。对L建立坐标，可以由曲率半径ρ及转角θ表示曲线L。
因此这个空间区域上每一点可以描述为(x,y,ρ,θ)
所以对于同一截面上的点，必有ρ(x,y,θ)=ρ(x0,y0,θ)+A(x,y)
ρ(x,y,θ)是某一截面上的点(x,y)对应曲线L的曲率半径
ρ(x0,y,θ)是这一截面上形心(x0,y0)对应曲线L的曲率半径
A(x,y)是点(x,y)到(x0,y0)的距离（可以为负值），而且必有(D)∫∫A(x,y)dxdy=0（本身形心就满足这个性质）
设形心对应的曲线L，长度为l
所以微元体积dV=dxdyds
ds是点(x,y,ρ,θ)对应的曲线L的微元长度
ds=ρdθ=ρ(x,y,θ)dθ=ρ(x0,y0,θ)dθ+A(x,y)dθ
设曲线L对应的启示转角为0，终转角为θ0
所以V=∫∫∫dxdyds=∫∫∫[ρ(x0,y0,θ)dθ+A(x,y)dθ]dxdy
=∫∫∫ρ(x0,y0,θ)dxdydθ+∫∫∫A(x,y)dxdydθ
=(0,θ)∫ρ(x0,y0,θ)dθ(D)∫∫dxdy+(0,θ)∫dθ(D)∫∫A(x,y)dxdy
因为(D)∫∫dxdy=S，(D)∫∫A(x,y)dxdy=0，(0,θ)∫ρ(x0,y0,θ)dθ=l
所以V=lS
