不等式吧 关注：10,039贴子：52,407
- 5回复贴，共1页
不感兴趣
开通SVIP免广告
当且仅当 p,q >= 0 或 p^2q^2 + 18pq - 4p^3 - 4q^3 - 27 <= 0，如下不等式：
f(a,b,c) = Σ(a^3 + p*a^2*b + q*a*b^2 - (p+q+1)*a*b*c) >= 0
对于 a,b,c >= 0 恒成立。
注：第一行的两个条件等价于边界非负： f(a,1,0)≥0 。
证明：(forever豪3) 若p,q≥0则由均值显然。对于后一种情况，有配方式
f(a,b,c) * Σ(ab) = (p + q + 3) *a*b*c*Σ(a^2-ab) + t * Σ(c(a^2-b^2+u(ab-ac)+v(bc-ab))^2) + (1-t)*Σ(c(a-b)^4) >= 0.
其中
D = -16(p^2q^2 + 18pq - 4p^3 - 4q^3 - 27)
u, v = (2*p^2 - 6*q) / (9 - p*q), (2*q^2 - 6*p) / (9 - p*q)
t = (9 - p*q)^2 / (p + q + 3) / (3*(p - q)^2 + (6 - p - q)^2)
f(a,b,c) = Σ(a^3 + p*a^2*b + q*a*b^2 - (p+q+1)*a*b*c) >= 0
对于 a,b,c >= 0 恒成立。
注：第一行的两个条件等价于边界非负： f(a,1,0)≥0 。
证明：(forever豪3) 若p,q≥0则由均值显然。对于后一种情况，有配方式
f(a,b,c) * Σ(ab) = (p + q + 3) *a*b*c*Σ(a^2-ab) + t * Σ(c(a^2-b^2+u(ab-ac)+v(bc-ab))^2) + (1-t)*Σ(c(a-b)^4) >= 0.
其中
D = -16(p^2q^2 + 18pq - 4p^3 - 4q^3 - 27)
u, v = (2*p^2 - 6*q) / (9 - p*q), (2*q^2 - 6*p) / (9 - p*q)
t = (9 - p*q)^2 / (p + q + 3) / (3*(p - q)^2 + (6 - p - q)^2)
