C(m,3)-4 = m(m-1)(m-2)/6-4 = (m-4)(m²+m+6)/6, 这个方程相当于6pⁿ=(m-4)(m²+m+6)
因为m²+m+6= (m-4)²+9(m-4)+26, 所以gcd(m-4, m²+m+6)只可能是26的因数
(1)如果m-4和m²+m+6中有某一个与p互素, 那互素的这一项只可能等于±1,±2,±3,±6中的某一个
又因为m²+m+6一定是大于6的正整数, 所以m-4=6pⁿ/(m²+m+6)也只能是正整数, 在m-4=1,2,3,6中检验可得m=6,7符合要求, 这时pⁿ分别等于16和31
(2)如果m-4和m²+m+6都能被p整除, p只可能是2或13
当p=2时, 6pⁿ的形如4k+2的正因子只有2和6, 正奇因子只有1和3
若m≡0(mod 4), 则m²+m+6≡2(mod 4), 只可能m²+m+6=2或6, 无正整数解
若m≡2(mod 4), 则m-4≡2(mod 4), 只可能m-4=2或6, 只有m=6是正整数解
若m≡1(mod 2), 则m-4≡1(mod 2), 只可能m-4=1或3, 都不满足p=2
当p=13时,6pⁿ的大于6的因数一定被p整除, m²+m+6>6, 所以13 | m²+m+6, 可得m≡4,8(mod 13)
若m≡8(mod 13), 则m-4与13互素, 只可能m-4=1,2,3,6,都不符合m≡8(mod 13)
若m≡4(mod 13)且169不整除m-4, 则(m-4)/13只可能等于1,2,3,6, 代入检验都不符合要求
若m≡4(mod 169), 则m²+m+6≡26(mod 169), (m²+m+6)/13与13互素, 只可能等于1,2,3,6, 都不符合p=13
综上所述原方程只有(m,n,p)=(6,4,2),(7,1,31)这两组正整数解满足p为素数

提示:可以分解的
C(m,3)-4=(m-4)(m²+m+6)/6