两道线代题求助

有一说一，第七题我们去年期末考过

（1）AB-BA=aB，AB^2=BAB+aB^2，AB^2-B^2A=BAB+aB^2-B^2A=B（aB+AB-BA）=B（aB+aB）=2aB^2，同理归纳就能得到（1）的结论。

（2）记Aα= λα，ABα-BAα=aBα，即A（Bα）=（λ+a）Bα，那么Bα是A特征值λ+a对应的特征向量，同理，B^m α是A特征值λ+ma对应的特征向量，如果一切B^m α都非0，那么λ+ma都是A特征值，但A特征值至多n个，矛盾，从而存在k，使得B^k α=0.

这种AB-BA=f（A），其中f是多项式，这种模版还是很有特点的，其中有一个重要结论是A的特征值适合f（x）；这个结论的证明很困难，我暂时也没想到简单的证明；利用这个结论在七题中可以证明一个更强的结论，那就是B是幂零矩阵，利用上面的结论可以得到B的特征值适合-ax，而-ax的根只有0，那么B的特征值全是0，从而B是幂零矩阵。

既然得到了B是幂零矩阵，即存在k，使得B^k=0. 那么事实上七题（2）的结论可以加强，对任意的向量α，由于B^k=0，自然B^k α=0，而不用局限于α 是A的特征向量。