参变分离，根本做不了

不是让b≤3成立所以第一种不对，这题给b≤3是让f（x）=x²-bx+6该抛物线对称轴在取值区间中值左侧

因为这道题出题的本意就不是让你用参变分离。题目给的b<=3只是为了降低难度。没有b<=3要分三类

这题不是用参变分离做的。
换种说法吧：
设f(x)＝x²-bx+6(x∈[1,2])，求b的范围，令4≤f(x)≤5。(只需讨论b≤3的情况)。
求个导，再分别讨论一下就好了。
参变分离成你做的样子后，如果要硬做的话，题目就变成讨论双变量函数b(x₁,x₂)的值域了，要分别求x₁,x₂的偏导，更难得多。

。

你去求b的范围做什么，题目不是让你确认一下b为不大于3的常数的时候，x1在1到2范围内随便取值，x2都在4到5的范围吗？你去纠结b做什么……

我个人是这样想的，可以把这个式子看成一个函数，x2是因变量（记为y），x1是自变量（记为x），这就变成了对任意x属于一到二，都存在y属于四到五使得该式子成立，由于式子右边是二次函数，可以通过讨论对称轴的位置确定单调性，顺便得出对应情况下b的取值范围，最后先取交再取并

左边任意，右边存在。你给左边设个函数fx，右边设个gx，意思就是fx的值域是gx的子集就行，主要讨论右边值域就行

既然x_2是存在，x_1是任意，那么就是个计算x_1的二次函数如何限制在特定范围的事。
也就是个二次函数最大值最小值问题。

这题用二次函数图像足够了
x1和x2看着唬人，换成x和y，就是一个抛物线
在区间[1,2]内，总有函数值落在范围[4,5]内
而抛物线的对称轴x=b/2，由条件b≤3，对称轴≤1.5
结合抛物线开口向上，可知区间[1,2]的最高点是f(2)，最低点在对称轴处或者f(1)处讨论。
让函数值落在范围[4,5]的充要条件是max≥4且min≤5

不用参变分离的原因，x1和x2是两个不同的变量，高中用参变分离解决的情形是a≥f(x)，变量的一侧是一元函数，而你分离出来的是二元函数，相当于f(x,y)