数学归纳法是一种数学证明方法，通常用于证明某个命题对于所有自然数都成立。它包括两个步骤：
1. **基础步骤（Base Case）**：证明当 \( n = 1 \) 时，命题成立。
2. **归纳步骤（Inductive Step）**：假设当 \( n = k \) 时命题成立，然后证明当 \( n = k + 1 \) 时命题也成立。
如果这两个步骤都完成了，那么根据数学归纳法原理，命题对于所有自然数 \( n \) 都成立。
下面是一个使用数学归纳法的简单例子：
**命题**：证明对于所有自然数 \( n \)，\( 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \)。
**证明**：
1. **基础步骤**：当 \( n = 1 \) 时，左边是 \( 1 \)，右边是 \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \)。所以当 \( n = 1 \) 时，命题成立。
2. **归纳步骤**：假设当 \( n = k \) 时，命题成立，即 \( 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \)。我们需要证明当 \( n = k + 1 \) 时，命题也成立。
当 \( n = k + 1 \) 时，左边是 \( 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) \)。根据归纳假设，这等于 \( \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \)。
简化右边，我们得到：
\[
\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
\]
这正是当 \( n = k + 1 \) 时右边的表达式。所以当 \( n = k + 1 \) 时，命题也成立。
根据数学归纳法，命题对于所有自然数 \( n \) 都成立。
数学归纳法可以用于证明各种类型的命题，包括数列求和、不等式、整除性等。它是数学中非常重要的证明工具。