前一个反证法随便弄一下就行了。后一个考虑乘法原理。

a的每个因数都是形如b=p₁^β₁*p₂^β₂*…*p_r^β_r的整数, 只需要确定(β₁, β₂, …, β_r), 就可以唯一确定一个因数
β₁的取值范围是0,1,…, α₁, 一共α₁+1种取法, 同理β₂有α₂+1种取法, …, β_r有α_r+1种取法, 对每个指数都一样
它们的选取之间是独立的, 改变其中任何一个都会得到一个不一样的因数, 所以一共有(α₁+1)(α₂+1)…(α_r+1)种取法, 对应的也是a的所有因数个数
可以验证一下一些特殊情况, 比如
素数p的因数只有1和p这2=1+1个(r=1, α₁=1)
素数的平方p²有1,p,p²一共3=1+2个因数(r=1, α₁=2)
两个不同素数的乘积pq一共有1,p,q,pq这4=(1+1)*(1+1)个因数(r=2,α₁=α₂=1)

另一种做法可以先证明因数个数d(a)关于a具有积性
也就是说如果a=mn, m, n是互素的正整数, m有d₁个因数, n有d₂个因数, 则a=mn一共有d₁d₂个因数
理由是因为, 对m的每个因数b₁, n的每个因数b₂, b₁|m, b₂|n, 则b₁b₂|mn是mn的一个因数 (这里与m,n互素无关)
而反过来对mn的每个因数b, 设b₁=gcd(m, b),b₂=gcd(n, b), 由于m, n互素, 所以b₁, b₂互素, 再由b₁|b, b₂|b可得b₁b₂|b, 则b/b₁b₂, m/b₁, n/b₂都是正整数
这时因为 b/b₁b₂ | m/b₁*n/b₂, 其中由于b/b₁与m/b₁互素, 所以b/b₁b₂与m/b₁也互素, 同理b/b₁b₂与m/b₂也互素, gcd(b/b₁b₂, m/b₁*n/b₂)=1, 由此可得b=b₁b₂
因此每个因数b只对应一组有序对(b₁, b₂),b₁|a₁, b₂|a₂, 每组(b₁, b₂)由唯一确定一个因数b
它们的计数相等, b₁的取值有d₁种, b₂的取值有d₂种, 按照乘法原理(b₁, b₂)一共有d₁d₂种取法
由积性可得, 对于a=p₁^α₁*p₂^α₂*…*p_r^α_r, d(a)=d(p₁^α₁)*d(p₂^α₂)*…*d(p_r^α_r)
每个素数幂p^α 只可能有1,p,p²,…,p^α这(α+1)个因数, 所以d(p^α)=α+1, d(a)= (α₁+1)(α₂+1)…(α_r+1)
(如果把某些不整除a的素因子q写进分解式, q整除a的指数α'为0, 那在d(a)的公式里由积性再乘以α'+1=1, 结果还是不变)