这题正确解法怎么写，发现网上的解法都是错的，但答案歪打正着

网上都是视n^(1/n)为最大值做夹逼。
y＝x^(1/x)图像如下，显然的x→∞时y→1并非最大值。最大值应为e^(1/e)＞1。用n^(1/n)夹逼是错的。
大佬们所以正确的解法应该怎么写？
（我解出来应该是用积分，但不知道怎么转化）