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第1题因为A,B,I,X四点共圆，所以∠XAI=∠XBI，又因为BI平分∠ABC，所以∠XBI=∠ABI
则∠XAI=∠ABI，所以△PAI∽△ABI，得到PI/AI=AI/BI，也就是AI²=BI×PI
同理AI²=CI×QI，所以BI×PI=CI×QI，由圆幂定理的逆定理可以推出B, C, Q, P四点共圆

第2题n>1且n≡0, 1(mod 3)都是符合要求的
n=3时可以(1, 2, 3)→(2, 3, 1)→(3, 1, 2)
n≥4时先将(n-2, n-1, n)→(n-1, n, n-2)→(n, n-2, n-1)，再让(n-3, n)→(n, n-3)
这时n-3, n-2, n-1都被依次排到n后面，n只需要重复n-3的步骤就可以了
而n≡2(mod 3)是不符合要求的，假设某一步变换中，数列里使得从左到右第k项a_k满足a_k≡k(mod 3)的k一共有m个
可以证明按照(i)(ii)两种操作，每一步变换都不改变m除以3的余数
当n≡2(mod 3)时数列一开始m=n≡2(mod 3)，如果能变换为(n, 1, 2, …, n-1)，那结束时m=0，所以是不可能的

第3题先算出来M[k]= 1/k(k+1)
那如果要满足要求，相当于2≤k≤n时a[k]= (a₁+a₂+…+a[k-1]±1)/(k-1)
当k≥4时，(a₁+a₂+…+a[k-1]+1)/(k-1) 和 (a₁+a₂+…+a[k-1]-1)/(k-1) 最多只有1个是整数，所以所要求的数列由a₁, a₂, a₃确定，每组(a₁, a₂, a₃)最多确定一个符合要求的数列
当2≤a₁≤n-1时，a₂最多有a₁+1或a₁-1这两种选择，当a₁=1时a₂只能等于2，当a₁=n时a₂只能等于n-1，所以(a₁, a₂)最多有(2n-2)种选择
因为a₃=(a₁+a₂±1)/2 只可能等于a₁或a₂，所以(a₁, a₂, a₃)最多有2(2n-2)=4n-4种选择
可以验证这(4n-4)种选择都能得到符合要求的数列
也就是对任意1≤m≤n-1，除第一项以外是常数列的{m, m+1, m+1, …, m+1}，以及除前两项以外是常数列的{m, m+1, m, …, m}
对任意2≤m≤n，除第一项以外是常数列的{m, m-1, m-1, …, m-1}，以及除前两项以外是常数列的{m, m-1, m, …, m}
这(4n-4)个数列都符合要求，所以所求的数列一共有(4n-4)个

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第四题疑似是错题

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