9376 三顶点关于内切圆切点对称点

作△ABC内切圆⊙I，分别切AB,BC,CA于点D,E,F。作A关于E的对称点A1，关于F的对称点A2。作B关于D的对称点B1，关于F的对称点B2。作C关于E的对称点C1，关于D的对称点C2。设直线A1B1和A2C2交于X，A1B1和B2C1交于Y，A2C2和B2C1交于Z。
（1）求证：△XYZ∽△ABC。
（2）作BC中点M，CA中点N，AB中点P。作△MNP外心S，△XYZ外心L。求证：ISL三点共线。

H’是H关于Fe对称点，首先由图中相似得一组垂直（类似其它两组，所以三角形相似）取I的反角共轭J，作J关于ABC的反垂足三角形UVW，不难证明UVW与DEF相似，且J是UVW垂心关于其外接圆的反演点，所以J在UVW的欧拉线上，且熟知N I J共线；注意到AA1A2X共圆，由对应角度关系知X一定在AU上（类似有Y Z）而导角不难证明XYZ与UVW的orthic三角形位似，所以这两个三角形重合，XYZ的圆心即为UVW九点圆圆心，得证

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