首先定义一些记号：GG是一个连通无向图，有nn个顶点（记为v1,v2,⋯,vnv1,v2,⋯,vn），mm条边,且无自循环。AA为GG的领接矩阵，即为(aij)(aij)，其中aijaij为vivi与vjvj(i≠ji≠j)之间边的个数，aii=0aii=0。图的Laplacian是D−AD−A,其中DD是对角阵，diag(d1,d2,⋯,dn)diag(d1,d2,⋯,dn),其中didi为aiai的度，即连接到vivi的边的个数。
1.图的Laplacian以及Smith标准型
对于一个图的Laplacian来说，在代数图论中研究的大多是它的特征值。而在矩阵理论中，除了特征值以外还有其他一些不变量，比如说Smith标准型。
定义1 （Smith标准型） 整系数矩阵MM的Smith标准型是SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn)SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn),其中δ1⋯δi=Δiδ1⋯δi=Δi,其中ΔiΔi是MM的所有ii阶子式的最大公因数。
注意到它同样有一个等价定义，也就是说，m×nm×n阶矩阵MM的Smith标准型是SMTSMT,其中S,TS,T分别为m×mm×m以及n×nn×n阶的矩阵。使得SMTSMT为对角阵diag(δ1,δ2⋯,δn)diag(δ1,δ2⋯,δn),使得δ1|δ2|⋯|δnδ1|δ2|⋯|δn,其中δi∈Zδi∈Z。同样我们可以注意到，当detM=0detM=0的时候，δn=0δn=0。
我们知道，对于Laplacian矩阵MM的特征值λ1,⋯,λnλ1,⋯,λn,可以使λ1≥λ2≥⋯≥λn=0λ1≥λ2≥⋯≥λn=0。而图的生成树的个数不是别的，就是#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.这是代数图论中经典的Kirchhoff定理。通过Smith标准型的第一个定义，我们同样可以容易知道#(生成树)=δ1⋯δn−1.#(生成树)=δ1⋯δn−1.（通过对Kirchhoff定理的证明可以看出，图的生成树个数正是Laplacian的任意一个n−1n−1阶子式的行列式绝对值）
Smith标准型与特征值的联系不仅限于此，如果我们定义μμ为相异特征值的乘积，那么如下定理成立
定理2 （Smith标准型与特征值联系）
μ∈Zμ∈Z
n|μn|μ
δn−1|μδn−1|μ,但是一般来说，δn−1∤μnδn−1∤μn
定理的证明可见Lorenzini的文章。
2.算术图(Arithmetical graph)以及Picard群
每一个图，我们都有一个Laplacian矩阵MM。而我们又知道，M(1,1,⋯,1)′=0M(1,1,⋯,1)′=0,所以我们可否将Laplacian的概念推广呢？这样就引出了“算术图”的想法。
定义3 (算术图) 算术图是三元组(G,M,R)(G,M,R)使得以下成立：
GG为图
M=C−AM=C−A,其中AA为领接矩阵，CC为系数为正整数的对角阵,记为diag(c1,c2,⋯,cn)diag(c1,c2,⋯,cn)。
R=(r1,r2,⋯,rn)′R=(r1,r2,⋯,rn)′,其中ri>0ri>0,且同有ri∈Zri∈Z，且gcd(r1,⋯,rn)=1gcd(r1,⋯,rn)=1。
MR=0MR=0
一个简单的例子是Extended Dynkin Diagram赋予如下数字：
其中黑色数字代表了向量RR赋予的值，而红色的数字则是对角阵MM赋予的值，通过计算很容易可以验证MR=0MR=0如下
有了算术图的定义，我们可以定义它的不变量，即Picard群。这个群来源于代数几何的想法。
定义4 （Picard群）整数群ZZ模去MM的像Zn/Im(M)Zn/Im(M)称为算术图的Picard群,记为Pic(G)Pic(G)。同时我们定义degree map为deg:Zn/Im(M)→Zdeg:Zn/Im(M)→Z,使得(s1,s2,⋯,sn)↦∑ni=1risi(s1,s2,⋯,sn)↦∑i=1nrisi,其中riri即为算术图中RR的元素。
有了这一定义，我们就可以得到有限阿贝尔群ΦM=ker(deg)ΦM=ker(deg)。可以证明，如果diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)为Smith标准型，就有ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z.ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z.
注记：由此可以看出ΦMΦM是循环群当且仅当SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)。
于是特别地，考虑MM为GG的Laplacian，如果GG的生成树的个数无平方因子，自然就有ΦMΦM是循环群。而ΦMΦM是循环群的GG占了很大比例。以下是两个结论：
Chen-Ye(2008) 给定图GG,存在同构的图G′G′,由GG的细分（至多m−nm−n条边）给出，且ΦM′ΦM′是循环群。
Wood(2014) 对于nn点的Erdos-Renyi随机图，当n→∞n→∞时，
(a) |ΦM||ΦM|无平方因子的概率约为48.2%48.2%
(b)ΦMΦM是循环群的概率约为79.3%79.3%
3.算术图的不变量
(1)第一贝蒂数：β(G)=m−n+1β(G)=m−n+1,相当于图中不相关的“圈”的个数，就是将所有的边个数减去生成树的长度即为不相关圈的个数。
(2)亏格： g0(G,M,R)g0(G,M,R)，定义为2g0(G)−2=n∑i=1ri(di−2).2g0(G)−2=∑i=1nri(di−2).注意到这样一个亏格和我们通常所说的图的亏格（可嵌入多少亏格的曲面使得边不相交）不一样。因为K3,3K3,3和K5K5都有图亏格11，但是简单计算就可发现g0(K3,3)=4g0(K3,3)=4，g0(K5)=6g0(K5)=6。
简单计算可以发现，2g0(G)−2β(G)=n∑i=1(ri−1)(di−1).2g0(G)−2β(G)=∑i=1n(ri−1)(di−1).故而有如下定理。图的亏格的几何意义可见下定理链接中的引文[7]与[8]。
定理5(Lorenzini,1989)
g0(G)g0(G)为整数
g0(G)≥β(G)≥0g0(G)≥β(G)≥0
(3)gg-数： gg-数的定义如下。我们知道deg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Zdeg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Z将ΦMΦM映射至00,那么gg-数是最小的整数，满足
对于任意deg[D]≥gdeg[D]≥g的代表元[D]∈Pic(G)[D]∈Pic(G),存在V∈Im(M)V∈Im(M)使得D+VD+V在第一卦限（也即D+VD+V的各个坐标都大于00）
存在deg[D]=g−1deg[D]=g−1使得∀V∈Im(M)∀V∈Im(M),都有D+VD+V不可能在第一卦限。
这样的gg存在吗？存在性已经被证明，而以下的标志性的定理找出了一般图的解：
定理6(Baker & Norine, 2006)
若GG为一般的图，且R=(1,1⋯,1)′R=(1,1⋯,1)′,那么g=β(G)g=β(G)。
而这一定理同样也关乎图的黎曼-罗赫结构。两人首次提出了图上的黎曼-罗赫结构，而Lorenzini则进一步提出了如下定理：
定理7（Lorenzini,2011）如果g(G)=g0(G)g(G)=g0(G),那么图上就有黎曼-罗赫结构。
黎曼-罗赫结构将在下一节提到。这节最后再给出一些对不变量关系的估计。
定理8 令(G,M,R)(G,M,R)为算术树（也即算术图中的GG为树），那么
|ΦM|=∏ni=1rdi−2i∈N|ΦM|=∏i=1nridi−2∈N
|ΦM|≤4g0(G)|ΦM|≤4g0(G)
若pp为整除|ΦG||ΦG|的素数，那么p≤2g0(G)+1p≤2g0(G)+1
通过第二个等式，且我们知道g≤g0g≤g0，那么是否有|ΦM|≤4g|ΦM|≤4g呢？现在还不得而知。对于ΦGΦG这个群生成元的估计。在普通的图GG中，ΦGΦG可以被β(G)β(G)个元素生成。而对于一般的算术图的结果如下：
定理9 令(G,M,R)(G,M,R)为无重边的算术图，且假定对于某个ii有ri=1ri=1。那么SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)其中Δn−1−β=δ1⋯δn−1−βΔn−1−β=δ1⋯δn−1−β有Δn−1−β|∏ni=1rdi−2iΔn−1−β|∏i=1nridi−2
4.图上的黎曼-罗赫定理与双变量Zeta函数(Two-variable zeta function)
动机是来自于代数几何的黎曼罗赫定理。XX是CC上的射影曲线（即CP2CP2中齐次函数F(x,y,z)F(x,y,z)的解）。ff是定义在射影曲线上的亚纯函数，且有有限个零点与极点。那么定义ff的divdiv为div(f)=∑P∈Xm(P)Pdiv(f)=∑P∈Xm(P)P,其中m(P)m(P)为重数。在m(P)>0m(P)>0为零点，m(P)<0m(P)<0为极点。而一个重要的结论是，零点与极点的个数相同！也即∑Pm(P)=0∑Pm(P)=0。
而类似地，我们可以定义“除子”(Divisor)DD为D=∑PaPPD=∑PaPP,是为关于PP的形式和，其中aP∈ZaP∈Z且为有限和。定义度函数deg(D)=∑PaP.deg(D)=∑PaP.从定义可以看出deg∘div=0deg∘div=0。同时对于任意的除子DD,我们可以赋予它另外一个整数h0(D)h0(D),定义为h0(D)=dimCH0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}h0(D)=dimCH0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}是为ODOD层的上同调群的维数。
对于这样的结构，定义[D][D]为DD的等价类，即为{D′|∃f,D′=D+div(f)}{D′|∃f,D′=D+div(f)}。那么就有经典的黎曼-罗赫定理(Riemann-Roch)如下
定理10(黎曼-罗赫)存在典范类(Canonical class)[K][K]使得对于任意DD都有h0(D)=deg(D)+1−g+h0(K−D)h0(D)=deg(D)+1−g+h0(K−D)
而在代数几何中，[D][D]的类构成了维数gg的代数簇上的所有点，称为Picard簇Pic(X)Pic(X)。而[D][D]满足deg(D)=0deg(D)=0的子类被称为曲线XX的Jacobian。
对应的图论中来，注意到前面我们其实已经提到了和代数几何这些结果相仿的定义，比如Picard群，ΦMΦM等等。前面一直没有说明的ΦMΦM有了它的名字，称为雅可比簇(Jacobian Variety)，它的阶记为GG的生成树的个数。而典范类[K][K]定义为[(d1−2,⋯,dn−2)][(d1−2,⋯,dn−2)]。
Baker与Norine首次给出了图上的黎曼-罗赫定理。他们赋予每个除子DD(或者说Picard群的元素)的h0(D)h0(D)，且证明了图上的黎曼-罗赫定理h0(D)=deg(D)+1−β(G)+h0(K−D)h0(D)=deg(D)+1−β(G)+h0(K−D)对于h0(D)h0(D)的定义将在之后提到。
如果我们有了h0:Pic(G)→Zh0:Pic(G)→Z,那么我们就可以定义一个zeta函数Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg(D).Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg(D).而一个稍微变化的定义是Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).这个zeta函数的定理动机来自与有限域上的曲线上的zeta函数：令pp为素数Z/pZ=Fp≤FpsZ/pZ=Fp≤Fps。令X/FpX/Fp为光滑射影曲线（比如P2P2上的齐次F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0），那么令asas为在系数为FpsFps中时，曲线方程解的个数。那么有限域中与黎曼zeta相对应的zeta函数为：Z(X/Fp,T)=exp(∞∑s=1asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg(D)Z(X/Fp,T)=exp(∑s=1∞asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg(D)与我们这里的zeta函数类似。这样的zeta函数同样又给出了图的一个不变量。
最后给出h0(D)h0(D)的定义以及一些性质（等价意思是相差一个Im(M)Im(M)的元素）：
定义11（h0(D)h0(D)）定义E∈ZnE∈Zn是“有效的”当E≥0E≥0,也就是EE的每个坐标都大于等于00。如果deg(D)<0deg(D)<0，则令h0(D)=0h0(D)=0。如果deg(D)≥0deg(D)≥0,定义h0(D)h0(D)为h0(D)=min{deg(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素}h0(D)=min{deg(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素}
注意到这儿的定义其实类似前面我们所说的g−g−数。不过g−g−数相当于一个全局的不变量。于是我们有如下的性质：
h0(D)≥0h0(D)≥0这个通过定义显然
若DD不等价与一个有效的元素，那么h0(D)=0h0(D)=0,由于定义中集合包含了E=0E=0。
h0(D)≤deg(D)+1h0(D)≤deg(D)+1,更进一步，只可能在如下图的区域内有点
我曾经问在deg(D)deg(D)不变的时候是否能够变量区域中竖线交的所有点，不过还没有开始计算。
若deg(D)≥2β(G)−1deg(D)≥2β(G)−1,那么h0(D)=deg(D)+1−β(G)h0(D)=deg(D)+1−β(G)
对于不变量zeta函数，我们同样也有一些比较好的性质，定理的证明都可以在[3]中找到。
定理12
有理性，Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),其中f(u,t)∈Z[u,t]f(u,t)∈Z[u,t],有形式f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g.f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g.
f(u,t)f(u,t)在C[u,t]C[u,t]中不可约。
f(1,u)=#G的生成树f(1,u)=#G的生成树。
Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t)Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t)
若G为树，则Z(G,u,t)=1(1−t)(1−ut)
1.图的Laplacian以及Smith标准型
对于一个图的Laplacian来说，在代数图论中研究的大多是它的特征值。而在矩阵理论中，除了特征值以外还有其他一些不变量，比如说Smith标准型。
定义1 （Smith标准型） 整系数矩阵MM的Smith标准型是SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn)SNF=diag(δ1,δ2⋯,δn),其中δ1⋯δi=Δiδ1⋯δi=Δi,其中ΔiΔi是MM的所有ii阶子式的最大公因数。
注意到它同样有一个等价定义，也就是说，m×nm×n阶矩阵MM的Smith标准型是SMTSMT,其中S,TS,T分别为m×mm×m以及n×nn×n阶的矩阵。使得SMTSMT为对角阵diag(δ1,δ2⋯,δn)diag(δ1,δ2⋯,δn),使得δ1|δ2|⋯|δnδ1|δ2|⋯|δn,其中δi∈Zδi∈Z。同样我们可以注意到，当detM=0detM=0的时候，δn=0δn=0。
我们知道，对于Laplacian矩阵MM的特征值λ1,⋯,λnλ1,⋯,λn,可以使λ1≥λ2≥⋯≥λn=0λ1≥λ2≥⋯≥λn=0。而图的生成树的个数不是别的，就是#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.#(生成树)=1nλ1⋯λn−1.这是代数图论中经典的Kirchhoff定理。通过Smith标准型的第一个定义，我们同样可以容易知道#(生成树)=δ1⋯δn−1.#(生成树)=δ1⋯δn−1.（通过对Kirchhoff定理的证明可以看出，图的生成树个数正是Laplacian的任意一个n−1n−1阶子式的行列式绝对值）
Smith标准型与特征值的联系不仅限于此，如果我们定义μμ为相异特征值的乘积，那么如下定理成立
定理2 （Smith标准型与特征值联系）
μ∈Zμ∈Z
n|μn|μ
δn−1|μδn−1|μ,但是一般来说，δn−1∤μnδn−1∤μn
定理的证明可见Lorenzini的文章。
2.算术图(Arithmetical graph)以及Picard群
每一个图，我们都有一个Laplacian矩阵MM。而我们又知道，M(1,1,⋯,1)′=0M(1,1,⋯,1)′=0,所以我们可否将Laplacian的概念推广呢？这样就引出了“算术图”的想法。
定义3 (算术图) 算术图是三元组(G,M,R)(G,M,R)使得以下成立：
GG为图
M=C−AM=C−A,其中AA为领接矩阵，CC为系数为正整数的对角阵,记为diag(c1,c2,⋯,cn)diag(c1,c2,⋯,cn)。
R=(r1,r2,⋯,rn)′R=(r1,r2,⋯,rn)′,其中ri>0ri>0,且同有ri∈Zri∈Z，且gcd(r1,⋯,rn)=1gcd(r1,⋯,rn)=1。
MR=0MR=0
一个简单的例子是Extended Dynkin Diagram赋予如下数字：
其中黑色数字代表了向量RR赋予的值，而红色的数字则是对角阵MM赋予的值，通过计算很容易可以验证MR=0MR=0如下
有了算术图的定义，我们可以定义它的不变量，即Picard群。这个群来源于代数几何的想法。
定义4 （Picard群）整数群ZZ模去MM的像Zn/Im(M)Zn/Im(M)称为算术图的Picard群,记为Pic(G)Pic(G)。同时我们定义degree map为deg:Zn/Im(M)→Zdeg:Zn/Im(M)→Z,使得(s1,s2,⋯,sn)↦∑ni=1risi(s1,s2,⋯,sn)↦∑i=1nrisi,其中riri即为算术图中RR的元素。
有了这一定义，我们就可以得到有限阿贝尔群ΦM=ker(deg)ΦM=ker(deg)。可以证明，如果diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)diag(δ1,δ2,⋯,δn−1,0)为Smith标准型，就有ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z.ΦM≅Z/δ1Z×Z/δ2Z×⋯×Z/δn−1Z.
注记：由此可以看出ΦMΦM是循环群当且仅当SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)SNF=diag(1,⋯,1,δn−1,0)。
于是特别地，考虑MM为GG的Laplacian，如果GG的生成树的个数无平方因子，自然就有ΦMΦM是循环群。而ΦMΦM是循环群的GG占了很大比例。以下是两个结论：
Chen-Ye(2008) 给定图GG,存在同构的图G′G′,由GG的细分（至多m−nm−n条边）给出，且ΦM′ΦM′是循环群。
Wood(2014) 对于nn点的Erdos-Renyi随机图，当n→∞n→∞时，
(a) |ΦM||ΦM|无平方因子的概率约为48.2%48.2%
(b)ΦMΦM是循环群的概率约为79.3%79.3%
3.算术图的不变量
(1)第一贝蒂数：β(G)=m−n+1β(G)=m−n+1,相当于图中不相关的“圈”的个数，就是将所有的边个数减去生成树的长度即为不相关圈的个数。
(2)亏格： g0(G,M,R)g0(G,M,R)，定义为2g0(G)−2=n∑i=1ri(di−2).2g0(G)−2=∑i=1nri(di−2).注意到这样一个亏格和我们通常所说的图的亏格（可嵌入多少亏格的曲面使得边不相交）不一样。因为K3,3K3,3和K5K5都有图亏格11，但是简单计算就可发现g0(K3,3)=4g0(K3,3)=4，g0(K5)=6g0(K5)=6。
简单计算可以发现，2g0(G)−2β(G)=n∑i=1(ri−1)(di−1).2g0(G)−2β(G)=∑i=1n(ri−1)(di−1).故而有如下定理。图的亏格的几何意义可见下定理链接中的引文[7]与[8]。
定理5(Lorenzini,1989)
g0(G)g0(G)为整数
g0(G)≥β(G)≥0g0(G)≥β(G)≥0
(3)gg-数： gg-数的定义如下。我们知道deg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Zdeg:Pic(G)=Zn/Im(M)→Z将ΦMΦM映射至00,那么gg-数是最小的整数，满足
对于任意deg[D]≥gdeg[D]≥g的代表元[D]∈Pic(G)[D]∈Pic(G),存在V∈Im(M)V∈Im(M)使得D+VD+V在第一卦限（也即D+VD+V的各个坐标都大于00）
存在deg[D]=g−1deg[D]=g−1使得∀V∈Im(M)∀V∈Im(M),都有D+VD+V不可能在第一卦限。
这样的gg存在吗？存在性已经被证明，而以下的标志性的定理找出了一般图的解：
定理6(Baker & Norine, 2006)
若GG为一般的图，且R=(1,1⋯,1)′R=(1,1⋯,1)′,那么g=β(G)g=β(G)。
而这一定理同样也关乎图的黎曼-罗赫结构。两人首次提出了图上的黎曼-罗赫结构，而Lorenzini则进一步提出了如下定理：
定理7（Lorenzini,2011）如果g(G)=g0(G)g(G)=g0(G),那么图上就有黎曼-罗赫结构。
黎曼-罗赫结构将在下一节提到。这节最后再给出一些对不变量关系的估计。
定理8 令(G,M,R)(G,M,R)为算术树（也即算术图中的GG为树），那么
|ΦM|=∏ni=1rdi−2i∈N|ΦM|=∏i=1nridi−2∈N
|ΦM|≤4g0(G)|ΦM|≤4g0(G)
若pp为整除|ΦG||ΦG|的素数，那么p≤2g0(G)+1p≤2g0(G)+1
通过第二个等式，且我们知道g≤g0g≤g0，那么是否有|ΦM|≤4g|ΦM|≤4g呢？现在还不得而知。对于ΦGΦG这个群生成元的估计。在普通的图GG中，ΦGΦG可以被β(G)β(G)个元素生成。而对于一般的算术图的结果如下：
定理9 令(G,M,R)(G,M,R)为无重边的算术图，且假定对于某个ii有ri=1ri=1。那么SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)SNF(M)=diag(δ1,⋯,δn−1−β,δn−β,⋯,δn−1,0)其中Δn−1−β=δ1⋯δn−1−βΔn−1−β=δ1⋯δn−1−β有Δn−1−β|∏ni=1rdi−2iΔn−1−β|∏i=1nridi−2
4.图上的黎曼-罗赫定理与双变量Zeta函数(Two-variable zeta function)
动机是来自于代数几何的黎曼罗赫定理。XX是CC上的射影曲线（即CP2CP2中齐次函数F(x,y,z)F(x,y,z)的解）。ff是定义在射影曲线上的亚纯函数，且有有限个零点与极点。那么定义ff的divdiv为div(f)=∑P∈Xm(P)Pdiv(f)=∑P∈Xm(P)P,其中m(P)m(P)为重数。在m(P)>0m(P)>0为零点，m(P)<0m(P)<0为极点。而一个重要的结论是，零点与极点的个数相同！也即∑Pm(P)=0∑Pm(P)=0。
而类似地，我们可以定义“除子”(Divisor)DD为D=∑PaPPD=∑PaPP,是为关于PP的形式和，其中aP∈ZaP∈Z且为有限和。定义度函数deg(D)=∑PaP.deg(D)=∑PaP.从定义可以看出deg∘div=0deg∘div=0。同时对于任意的除子DD,我们可以赋予它另外一个整数h0(D)h0(D),定义为h0(D)=dimCH0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}h0(D)=dimCH0(X,OD),OD={f|f只在aP≠0的地方有极点，且m(P)≥−aP}是为ODOD层的上同调群的维数。
对于这样的结构，定义[D][D]为DD的等价类，即为{D′|∃f,D′=D+div(f)}{D′|∃f,D′=D+div(f)}。那么就有经典的黎曼-罗赫定理(Riemann-Roch)如下
定理10(黎曼-罗赫)存在典范类(Canonical class)[K][K]使得对于任意DD都有h0(D)=deg(D)+1−g+h0(K−D)h0(D)=deg(D)+1−g+h0(K−D)
而在代数几何中，[D][D]的类构成了维数gg的代数簇上的所有点，称为Picard簇Pic(X)Pic(X)。而[D][D]满足deg(D)=0deg(D)=0的子类被称为曲线XX的Jacobian。
对应的图论中来，注意到前面我们其实已经提到了和代数几何这些结果相仿的定义，比如Picard群，ΦMΦM等等。前面一直没有说明的ΦMΦM有了它的名字，称为雅可比簇(Jacobian Variety)，它的阶记为GG的生成树的个数。而典范类[K][K]定义为[(d1−2,⋯,dn−2)][(d1−2,⋯,dn−2)]。
Baker与Norine首次给出了图上的黎曼-罗赫定理。他们赋予每个除子DD(或者说Picard群的元素)的h0(D)h0(D)，且证明了图上的黎曼-罗赫定理h0(D)=deg(D)+1−β(G)+h0(K−D)h0(D)=deg(D)+1−β(G)+h0(K−D)对于h0(D)h0(D)的定义将在之后提到。
如果我们有了h0:Pic(G)→Zh0:Pic(G)→Z,那么我们就可以定义一个zeta函数Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg(D).Zh(G,u,t)=∑[D]∈Pic(G)uh0(D)−1u−1tdeg(D).而一个稍微变化的定义是Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).Wh(G,x,y)=∑[D]∈Pic(G)xh0(G)yh0(K−D).这个zeta函数的定理动机来自与有限域上的曲线上的zeta函数：令pp为素数Z/pZ=Fp≤FpsZ/pZ=Fp≤Fps。令X/FpX/Fp为光滑射影曲线（比如P2P2上的齐次F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0），那么令asas为在系数为FpsFps中时，曲线方程解的个数。那么有限域中与黎曼zeta相对应的zeta函数为：Z(X/Fp,T)=exp(∞∑s=1asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg(D)Z(X/Fp,T)=exp(∑s=1∞asTss)=∑[D]∈Pic(X)ph(D)−1p−1Tdeg(D)与我们这里的zeta函数类似。这样的zeta函数同样又给出了图的一个不变量。
最后给出h0(D)h0(D)的定义以及一些性质（等价意思是相差一个Im(M)Im(M)的元素）：
定义11（h0(D)h0(D)）定义E∈ZnE∈Zn是“有效的”当E≥0E≥0,也就是EE的每个坐标都大于等于00。如果deg(D)<0deg(D)<0，则令h0(D)=0h0(D)=0。如果deg(D)≥0deg(D)≥0,定义h0(D)h0(D)为h0(D)=min{deg(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素}h0(D)=min{deg(E)|E≥0且D−E不等价于一个有效的元素}
注意到这儿的定义其实类似前面我们所说的g−g−数。不过g−g−数相当于一个全局的不变量。于是我们有如下的性质：
h0(D)≥0h0(D)≥0这个通过定义显然
若DD不等价与一个有效的元素，那么h0(D)=0h0(D)=0,由于定义中集合包含了E=0E=0。
h0(D)≤deg(D)+1h0(D)≤deg(D)+1,更进一步，只可能在如下图的区域内有点
我曾经问在deg(D)deg(D)不变的时候是否能够变量区域中竖线交的所有点，不过还没有开始计算。
若deg(D)≥2β(G)−1deg(D)≥2β(G)−1,那么h0(D)=deg(D)+1−β(G)h0(D)=deg(D)+1−β(G)
对于不变量zeta函数，我们同样也有一些比较好的性质，定理的证明都可以在[3]中找到。
定理12
有理性，Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),Zh(G,u,t)=f(u,t)(1−t)(1−ut),其中f(u,t)∈Z[u,t]f(u,t)∈Z[u,t],有形式f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g.f(u,t)=1+c1(u)t+c2(u)t2+⋯+cg(u)tg+ucg−1(u)tg+1+u2cg−2(u)tg+2+ugt2g.
f(u,t)f(u,t)在C[u,t]C[u,t]中不可约。
f(1,u)=#G的生成树f(1,u)=#G的生成树。
Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t)Z(u,1ut)=(ut2)1−gZ(u,t)
若G为树，则Z(G,u,t)=1(1−t)(1−ut)
