大一好像没有学过带偏导的微分方程通解

这个不叫带偏导的微分方程，而是偏微分方程，和你现在学的常微分方程其实并不是一个位面的东西。前者要难得多得多。
不过这个题的形式是最简单的那一种，如果你整理出了红色的式子，你可以把原函数的形式猜出来（你想想什么样的函数，对xy偏导会为零？而且先对x再对y导，以及先对y再对x导之间有什么关系），然后用代定系数法把其中的函数写成简单的一元常微分方程解出来即可。
这个在偏微分方程专门教材比较靠前的章节也有，实在想不通就去找本书看看就是。