如果你学过导数，那你应该明白当导函数等于零时此时的原函数在此处取得极值。高中阶段的不等式求最值问题一般是二元的，及x、y均作为变量。在高等数学中我们有多原函数，形如F（x，y），这个值由x，y共同决定，同样的这个多元函数也有求导得到极值的方法，这个方法就是拉格朗日数乘法。所以总的来说，用拉格朗日数乘解决不等式最值问题实际上就是将不等式看作一个多元函数，然后用拉格朗日求最值。

就是泰勒一阶展开、给(0)乘上一个系数λ，构成一个约束，添加到原函数，再对这个升了维的新函数继续泰勒求极值

其实就是导数

原理是使用类似隐函数求导的办法，把条件极值转化为非条件极值。
但是并不好用，会有明明实际上是条件最值，但是你判定不了的情况。

给你的限制条件其实就是给你一个manifold，然后你要求这个manifold上的那个函数的极值，那就把local coordinate pullback到你熟悉的欧氏空间上就行。

拉格朗日乘数法就是用约束条件和目标函数构造了个拉格朗日函数，然后用偏导数为0，刻画了拉格朗日函数的极值点的必要条件。这里面，高中生没学过的只有偏导数，而偏导数就是立体图形中一个切面的导数，和高中学的平面中的导数其实一样，在切面里要取极值了，就该拐弯了，偏导数就为0了。偏导数具体的示意图如下：

显然，x,y的偏导数为0，不是每个方向都准备拐弯，甚至有些方向也可能都不连续，所以不一定是极值，只是可能的极值。所以，把求出来的值全部再代回目标函数，看看哪个是真正的最值就可以了。

拉格朗日乘数法本身就不是很好理解，易于接受的解释需要用到几何的语言。简单来说就是多元函数变化最快的方向（梯度方向）与约束曲面的法向量平行。就好比多元函数收到一个力使其值变化，力的方向与约束曲面垂直时有最值。

你这问题问得真的很巧，而这个贴我很早看到了，但是最近实在是太累了，很抱歉现在才能回复，不知道你这几天有没有因为求知欲把多元函数微积分学完了呢，而我这边是恰好最近班会让学生上台讲，而我又正好拿拉乘上去讲，但是反响不是很好...不过我还是顺便在这讲一下吧
首先我相信你已经基本了解偏导数了，所以我就直接讲拉格朗日乘（子/数）法，为方便起见，接下来就不讨论函数凸性了（就是讨论导数的零点是不是原函数的极值点）
对我们来说，拉乘的要点就是根据原函数和约束条件，构造拉格朗日函数，然后对拉格朗日函数求导并解得其极值，即问题的解。
你肯定已经知道，拉乘的推导涉及到梯度，但事实上要证明拉乘是非常容易的，不然我也不会随便下放给我的同学们
我们先来看问题，不失一般性，考虑二元单等式约束下的多元函数极值问题，即函数f(x,y)和约束条件h(x,y)=0，求f(x,y)在约束下的极值。可以想到f(x,y)在约束下是一些离散的点，是不可导的，但我们知道，可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λh(x,y)，而L在无约束情况下的极值（可以求导得到），就是f(x,y)在约束下的极值，即问题的解。现在我们来看看拉格朗日函数是如何起作用的，首先当L(x,y,λ)处于约束下时，即h(x,y)=0恒成立，那么就有L(x,y,λ)=f(x,y)，也就是说同在约束下时，L和f表示一样的点。接下来来看看L的偏导数，即Lₓ'(x,y)=fₓ'(x,y,λ)+λhₓ'(x,y)，Lᵧ'(x,y,λ)=fᵧ'(x,y)+λhᵧ'(x,y)，Lλ'(x,y,λ)=h(x,y)。而当L取到极值时，L对λ的偏导即Lλ'(x,y,λ)等于零，也就是h(x,y)=0，而这正是约束条件，这意味着这个极值点恰好处于约束下，进而说明这个点也是L在约束下的极值点，我们前面已经指出，这时L=f，因此这个极值点也是f在约束下的极值点，即问题的解。如此，就证明了拉格朗日函数，进而证明了拉乘。最后，同样作为高中生，我很理解你的感受，我看到网上很多下放拉乘给高中生的尝试，但都讲不了原理，都是觉得要这样只能把梯度那一套搬过来，于是我前段阵子一直在研究这个，最后也是终于真正完成了拉乘的下放，也就是我刚才的那个证明

凹凸性